泊松过程

泊松过程是时间或空间中完全随机散布点的模型，其中不相交区域内的计数是独立的且服从泊松分布，使其成为随机到达的典型描述。

Definition

泊松过程是一种计数过程，其中不相交区域内的事件数量是独立的且服从泊松分布，其均值与区域大小成比例；等效地，它是一个具有独立且平稳增量的点过程。

Scope

本主题涵盖了由独立指数间隔时间定义的直线上齐次泊松过程、通过独立泊松分布增量对其进行的等效表征、非齐次和空间泊松点过程、叠加和稀疏操作、条件到达时间的顺序统计特性，以及泊松过程作为最简单的连续时间马尔可夫计数过程。

Core questions

• 哪些独立性和分布特性表征了完全随机点？
• 为什么泊松事件之间的等待时间服从指数分布且无记忆性？
• 叠加和稀疏如何组合和分离泊松过程？
• 一旦已知到达次数，到达时间如何分布？

Key concepts

• 独立增量
• 指数间隔时间
• 叠加与稀疏
• 非齐次强度
• 空间点过程

Key theories

泊松过程的定义特性

不相交集合上独立的泊松分布计数、指数无记忆间隔时间以及许多稀有独立事件的极限，都描述了相同的过程，这三种等效的表征解释了其普遍性。

叠加、稀疏和顺序统计特性

合并独立的泊松过程会增加它们的速率；以固定概率独立保留每个点会产生一个稀疏的泊松过程；在给定计数的情况下，到达时间分布为有序均匀样本，这是一套用于操作泊松点的工具包。

Clinical relevance

泊松过程是排队和电信中到达流、放射性衰变和光子探测时间、保险索赔到达的标准模型，也是恒星、树木或细胞事件位置的空间点过程模型，其稀疏和叠加规则使分析变得易于处理。

History

泊松于1837年推导出了稀有事件的极限定律。20世纪初，埃尔朗将泊松到达应用于电话流量，创立了排队论。金曼则对一般空间上的泊松点过程进行了现代测度理论处理。

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

为什么泊松事件之间的时间是指数分布的？

因为该过程没有记忆性：下一瞬间发生事件的概率不取决于已经等待了多久，而指数分布是唯一具有这种无记忆特性的连续分布。

稀疏泊松过程有什么作用？

如果泊松过程的每个点都以某个固定概率独立保留，则保留的点再次形成一个泊松过程，其速率按该概率缩放，并且保留点和丢弃点是独立的。