微扰理论与近似方法
大多数量子问题无法精确求解，因此近似方法至关重要；微扰理论将一个系统视为一个可解系统加上一个小的修正，而变分法和WKB方法则在其他情况下限定或估计能量和波函数。
用 PaperMind 寻找选题即将推出Find papers & topics
Tools & resources
Learn & explore
视频即将推出
Definition
量子力学中的近似方法是在薛定谔方程无法精确求解时，用于估计能量、状态和跃迁速率的系统技术，主要包括微扰理论、变分法和半经典WKB近似。
Scope
该领域涵盖了用于能量和状态修正的与时间无关的微扰理论，包括简并情况；用于跃迁速率的与时间相关的微扰理论和费米黄金法则；从上方限定基态能量的变分原理；以及用于缓慢变化的势和隧穿的WKB半经典近似。
Sub-topics
Core questions
- 当加入小的微扰时，能级和状态如何被修正？
- 在时间相关的影响下，状态之间的跃迁速率如何计算？
- 如何在不精确求解方程的情况下限定基态能量？
- 半经典近似何时能给出准确结果？
Key concepts
- 微扰展开
- 简并微扰理论
- 费米黄金法则
- 变分原理
- 试探波函数
- WKB近似
Key theories
- 微扰理论
- 将能量和状态展开为小微扰的幂级数，逐级给出修正，其中主要的能量偏移等于微扰的期望值，其时间相关形式产生了状态之间跃迁速率的费米黄金法则。
- 变分法和WKB方法
- 变分原理保证了哈密顿量在任何试探状态下的期望值是基态能量的上限，而WKB近似则根据缓慢变化的局部波长构建波函数，当势在波长范围内变化很小时，该方法是准确的。
Clinical relevance
这些方法使量子力学适用于实际系统：微扰理论预测了斯塔克效应和塞曼效应的分裂以及原子跃迁速率，变分法在量子化学中提供了精确的基态能量，WKB解释了原子、核和固态物理中的隧穿速率和量子化条件。
History
瑞利和薛定谔在20世纪20年代发展了与时间无关的微扰理论；狄拉克提出了与时间相关的微扰理论，费米推广了用于跃迁速率的黄金法则，而WKB方法则由温策尔、克拉默斯和布里渊于1926年独立提出。
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Paul Dirac
- Enrico Fermi
- Lord Rayleigh
Related topics
Seminal works
- sakurai2017
- landau1977
Frequently asked questions
- 微扰理论何时失效？
- 当微扰相对于能量间距不小时，当能级接近简并导致分母趋于无穷大时，或者当级数不收敛时，微扰理论就会失效；在这种情况下，需要使用变分法、半经典方法或数值方法。
- 为什么变分法总是高估基态能量？
- 任何试探状态都是真实本征态的混合，由于所有激发态能量都高于基态，哈密顿量的期望值是一个加权平均值，它永远不会低于最低本征值。