薛定谔方程与波函数
薛定谔方程支配着量子波函数如何演化以及束缚系统可以拥有的能量；求解标准势能下的薛定谔方程可以得出离散能级、驻波模式和隧道效应，这些都定义了非相对论量子行为。
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Definition
薛定谔方程是非相对论量子力学的基本偏微分方程，它决定了粒子波函数随时间的演化，其模的平方给出了在每个点找到粒子的概率密度。
Scope
该领域涵盖了含时薛定谔方程及其形式解，导致不含时方程和定态的变量分离，波函数的解释和归一化，以及无限深势阱、有限深势阱和谐振子等精确可解问题，以及表现出反射、透射和隧穿的势垒问题。
Sub-topics
Core questions
- 量子系统的波函数如何随时间演化？
- 为什么束缚系统具有离散的量子化能级？
- 精确可解势能揭示了哪些普遍的量子行为？
- 粒子如何穿过经典力学所禁止的势垒？
Key concepts
- 波函数
- 概率密度
- 定态
- 能量量子化
- 边界条件
- 隧道效应
Key theories
- 含时薛定谔方程
- 波函数的变化率由作用于其上的哈密顿量决定，从而给出了概率幅的确定性、幺正演化，对于能量本征态，这会简化为简单的振荡相位。
- 定态与量子化
- 将时间与空间分离，将问题转化为哈密顿量的本征值方程，其可归一化解仅在束缚势能中以离散能量存在，这解释了原子和分子能级为何是量子化的。
Clinical relevance
薛定谔方程的解是化学和固态物理学的基础：量子化能级解释了原子光谱和分子键合，谐振子模型描述了振动和量子化场，而隧道效应则推动了扫描隧道显微镜、隧道二极管和原子核α衰变。
History
在德布罗意物质波的基础上，薛定谔于1926年发表了他的波动方程，并用它推导了氢光谱；玻恩提出了波函数的概率解释，伽莫夫很快将隧道效应应用于解释α衰变。
Key figures
- Erwin Schrodinger
- Max Born
- Louis de Broglie
- George Gamow
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Seminal works
- griffiths2018
- landau1977
Frequently asked questions
- 波函数在物理上代表什么？
- 波函数是一个复概率幅；其模的平方给出了位置等测量结果的概率密度，而其相位则控制着干涉和系统的时间演化。
- 为什么有些量子问题可以精确求解，而大多数不能？
- 少数势能，例如方势阱、谐振子和库仑势，具有特殊的对称性或代数结构，可以得到封闭形式的解；大多数实际势能需要近似方法或数值解。