欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程是任何使积分泛函取极值的函数必须满足的微分方程，是变分法的核心必要条件。
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Definition
对于一个由依赖于函数及其导数的拉格朗日量积分给出的泛函，欧拉-拉格朗日方程指出，拉格朗日量对函数的偏导数等于其对函数导数的偏导数对自变量的导数。
Scope
本主题涵盖泛函的一阶变分及其消失条件、欧拉-拉格朗日方程的推导、变分法的基本引理、自然边界条件和本质边界条件、如贝尔特拉米恒等式等第一积分，以及推广到多个函数、高阶导数和多重积分的情况。
Core questions
- 泛函的极值函数必须满足什么方程？
- 该条件是如何从一阶变分推导出来的？
- 该方程伴随哪些边界条件？
- 何时第一积分能简化所得方程？
Key theories
- 一阶变分和驻点
- 将泛函的一阶变分设为零，适用于所有可容许的扰动，结合变分法的基本引理，即可得到欧拉-拉格朗日方程。
- 自然边界条件
- 当端点是自由而非固定时，消失的一阶变分除了微分方程本身之外，还会对极值函数施加额外的自然边界条件。
- 第一积分和贝尔特拉米恒等式
- 当拉格朗日量不显式依赖于自变量时，一个守恒量，即贝尔特拉米恒等式，将二阶方程简化为一阶方程。
Clinical relevance
欧拉-拉格朗日方程将变分原理转化为可解的微分方程，从而产生拉格朗日力学中的运动方程、几何学中的测地线方程以及弹性力学、光学和场论的控制方程。
History
欧拉于1744年通过几何方法推导出该方程，拉格朗日在大约1755年通过其代数变分法重新推导，赋予该方程现代形式和名称。诺特定理后来通过该方程将拉格朗日量的对称性与守恒量联系起来。
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- Emmy Noether
- Eugenio Beltrami
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
Frequently asked questions
- 为什么欧拉-拉格朗日方程只是一个必要条件？
- 它识别出泛函为驻点的函数，类似于临界点，但这样的点可能是最小值、最大值，或者两者都不是。确定具体情况需要检查二阶变分或应用凸性或直接方法论证。
- 什么是自然边界条件？
- 当竞争函数的端点不固定时，要求一阶变分为零会在这些端点处强制施加一个额外条件，该条件源自边界项。这些自然边界条件是自动从变分原理中产生的，而不是被强加的。