直觉主义逻辑与构造主义

直觉主义逻辑拒绝排中律，认为一个数学陈述只有在我们能构造性地证明它时才为真。

Definition

直觉主义逻辑是构造性证明的逻辑，其中析取要求证明其中一个析取项，存在性断言要求构造一个见证，因此排中律和存在性断言的反证法通常无效。

Scope

本主题涵盖直觉主义逻辑及其背后的构造主义数学哲学。它涉及布劳威尔（Brouwer）将数学视为心智构造的观点、海廷（Heyting）的形式化以及联结词的证明条件（BHK）解释、排中律和双重否定消除的失效、直觉主义逻辑的克里普克（Kripke）和拓扑语义，以及达米特（Dummett）关于真理的反实在论支持普遍直觉主义逻辑的意义理论论证。

Core questions

• 排中律为何会失效，以及对哪些陈述失效？
• 逻辑联结词的构造性解释是什么？
• 直觉主义的论证是专门针对数学的，还是可以通过意义理论进行推广？
• 克里普克模型和拓扑模型如何阐明直觉主义的有效性？

Key concepts

• 排中律
• 构造性证明
• BHK解释
• 双重否定翻译
• 直觉主义的克里普克模型
• 证实主义

Key theories

BHK（证明条件）解释

布劳威尔-海廷-科尔莫戈罗夫解释通过复合陈述的证明标准来解释每个联结词，因此“A或B”要求A的证明或B的证明，这阻止了无限制的排中律。

达米特的反实在论论证

达米特认为，受说话者可表现性限制的意义理论倾向于证实条件语义而非真值条件语义，并且这种反实在论要求直觉主义逻辑普遍适用，而不仅仅是在数学中。

History

布劳威尔在20世纪初至20年代创立了直觉主义，作为对经典数学的构造主义拒绝；海廷于1930年将直觉主义逻辑形式化。科尔莫戈罗夫（Kolmogorov）的问题演算和BHK解释阐明了其含义，克里普克后来提供了关系语义，达米特将直觉主义重新定义为语义反实在论的普遍结果。

Debates

反实在论是否将直觉主义推广到数学之外？

达米特的意义理论论证是否成功地将直觉主义逻辑的论证从数学推广到一般话语，或者最初的动机是否本质上与数学对象的构造性性质相关。

Key figures

• L. E. J. Brouwer
• Arend Heyting
• Michael Dummett
• Andrey Kolmogorov
• Per Martin-Lof

Seminal works

• heyting1956
• dummett2000

Frequently asked questions

直觉主义逻辑是否拒绝所有反证法？

并非全部。直觉主义者接受通过从假设中推导出矛盾来证明否定，因为否定就是这样定义的。他们拒绝的仅仅是通过反驳其否定来确立积极的存在或析取断言，因为这没有产生构造性见证，并且依赖于双重否定消除，而这在直觉主义中是无效的。