命题逻辑与一阶逻辑

命题逻辑和一阶逻辑是经典逻辑中常用的形式系统，其表达能力足以规范大多数日常和数学推理。

Definition

命题逻辑研究由真值函数联结词组合的整个句子之间的推理；一阶逻辑通过引入在个体域上量化的量词以及谓词和关系来扩展命题逻辑，同时将量化限制在个体而非性质上。

Scope

本主题涵盖经典命题演算（真值函数联结词）和一阶谓词逻辑（量词、变量和关系）的语法、语义和证明论。它包括核心的元理论结果——可靠性、完备性、紧致性和勒文海姆-斯科伦定理——以及一阶逻辑作为规范论证和数学基础的规范框架所具有的哲学意义。

Core questions

• 一阶逻辑的表达范围是什么？它不能表达什么？
• 为什么一阶逻辑常被认为是规范化的特权逻辑？
• 完备性和紧致性告诉我们语法和语义之间有什么关系？
• 转向二阶逻辑的哲学成本和收益是什么？

Key concepts

• 真值函数联结词
• 量词和变量
• 满足和模型
• 完备性和紧致性
• 勒文海姆-斯科伦定理
• 一阶逻辑与二阶逻辑

Key theories

一阶逻辑的完备性

哥德尔完备性定理确立了每个一阶语义推论都可以在标准演绎系统中被证明，因此对于一阶逻辑而言，可推导性与模型论有效性是一致的。

一阶正统性

奎因主张将规范逻辑限制在一阶，理由是它具有完备性、本体论上的清晰性，并且没有二阶逻辑的集合论承诺和不完备性。

History

弗雷格1879年的《概念文字》引入了量词-变量符号和第一个谓词逻辑系统，这在皮尔士那里得到了独立预示。元理论在20世纪早期随着哥德尔完备性定理（1929年）以及紧致性和勒文海姆-斯科伦结果而确立，此后奎因等人将一阶逻辑推广为规范的逻辑框架。

Debates

一阶逻辑是正确的规范逻辑吗？

逻辑是否应该局限于一阶，考虑到其完备性和本体论清晰性，或者为了更大的表达能力而扩展到二阶逻辑，但代价是完备性的丧失和更重的数学承诺。

Key figures

• Gottlob Frege
• Kurt Godel
• W. V. O. Quine
• Charles Sanders Peirce
• Herbert Enderton

Seminal works

• frege1879
• quine1986

Frequently asked questions

一阶逻辑和二阶逻辑有什么区别？

一阶逻辑只对域中的个体对象进行量化。二阶逻辑还允许对这些对象的性质、关系和函数进行量化。二阶逻辑的表达能力强得多，但缺乏完备的证明系统，并带有更强的数学承诺，这就是为什么许多哲学家将一阶逻辑视为规范逻辑的原因。