Đại số Sigma và Độ đo

Một đại số sigma xác định các tập hợp có thể đo được, và một độ đo gán cho mỗi tập hợp đó một kích thước nhất quán; cùng nhau chúng tạo thành không gian đo được mà trên đó toàn bộ lý thuyết tích phân được xây dựng.

Definition

Một đại số sigma là một tập hợp các tập con được đóng dưới phép bù và các hợp đếm được, và một độ đo là một hàm tập hợp không âm, cộng được đếm trên một đại số sigma; cặp này tạo thành một không gian đo tổng quát hóa độ dài, diện tích, thể tích và xác suất.

Scope

Chủ đề này bao gồm các đại số sigma và đại số sigma Borel được tạo ra bởi các tập mở, các hàm đo được, các tiên đề của một độ đo với tính cộng được đếm, các độ đo ngoài và cấu trúc Caratheodory, việc xây dựng độ đo Lebesgue, tính đầy đủ và các tập hợp rỗng, và tính liên tục của các độ đo dọc theo các dãy đơn điệu.

Core questions

• Những tập hợp nào có thể hỗ trợ một khái niệm kích thước nhất quán?
• Độ đo Lebesgue trên không gian Euclid được xây dựng từ một độ đo ngoài như thế nào?
• Tính cộng được đếm đóng góp điều gì mà tính cộng hữu hạn không thể?
• Tại sao một độ đo không thể được định nghĩa trên mọi tập con tuyệt đối?

Key theories

Định lý mở rộng Caratheodory

Một độ đo ngoài giới hạn thành một độ đo cộng được đếm thực sự trên đại số sigma của các tập hợp đo được của nó, cấu trúc tạo ra độ đo Lebesgue và các độ đo trên các không gian trừu tượng từ các hàm tập hợp đơn giản hơn.

Sự tồn tại của các tập hợp không đo được

Giả sử tiên đề chọn, tồn tại các tập con của đường thẳng thực mà không có độ đo cộng được đếm bất biến tịnh tiến nào có thể gán một kích thước, đó là lý do tại sao cần một đại số sigma chứ không phải tất cả các tập con.

Clinical relevance

Các không gian đo là nền tảng hình thức của lý thuyết xác suất, trong đó đại số sigma mã hóa các sự kiện có thể quan sát được và độ đo là phân phối xác suất; cùng một khuôn khổ hỗ trợ tích phân, xử lý chặt chẽ tính ngẫu nhiên trong thống kê và tài chính, và định nghĩa các không gian hàm trong giải tích.

History

Borel đã giới thiệu đại số sigma của các tập hợp được xây dựng từ các khoảng vào khoảng năm 1898, và Lebesgue đã định nghĩa độ đo trên đường thẳng vào năm 1902. Phương pháp độ đo ngoài của Caratheodory đã tổng quát hóa cấu trúc cho các không gian trừu tượng, và ví dụ năm 1905 của Vitali đã trình bày một tập hợp không đo được.

Key figures

• Constantin Caratheodory
• Emile Borel
• Henri Lebesgue

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Tại sao không chỉ đo mọi tập con của đường thẳng?

Sử dụng tiên đề chọn, người ta có thể xây dựng các tập hợp, chẳng hạn như các tập Vitali, mà không thể gán một kích thước nhất quán với tính bất biến tịnh tiến và tính cộng được đếm, do đó việc đo lường bị giới hạn trong một đại số sigma.

Vai trò của tính cộng được đếm là gì?

Tính cộng được đếm, tức là độ đo của một hợp rời rạc đếm được là tổng các độ đo, là điều cho phép các độ đo tương tác tốt với các giới hạn và làm cho các định lý hội tụ của tích phân trở nên khả thi.