Tích phân Riemann và Lebesgue

Tích phân gán một giá trị chặt chẽ cho diện tích dưới một đường cong; tích phân Riemann thực hiện điều này bằng cách phân hoạch miền xác định, trong khi tích phân Lebesgue phân hoạch miền giá trị và tích phân một lớp hàm rộng hơn nhiều.

Definition

Tích phân Riemann là giới hạn chung của tổng trên và tổng dưới trên các phân hoạch mịn hơn của miền xác định. Tích phân Lebesgue, được định nghĩa bằng cách xấp xỉ các hàm bằng các hàm đơn giản được đo bằng một độ đo, mở rộng tích phân sang một lớp rộng hơn và hoạt động tốt dưới các giới hạn.

Scope

Chủ đề này bao gồm việc xây dựng tích phân Riemann thông qua tổng trên và tổng dưới, tiêu chuẩn khả tích Riemann, định lý cơ bản của giải tích, những hạn chế của tích phân Riemann dưới các giới hạn, và tích phân Lebesgue được xây dựng dựa trên độ đo với các định lý hội tụ đơn điệu, Fatou và hội tụ bị chặn của nó.

Core questions

• Chính xác những hàm nào là khả tích Riemann, và điều gì đặc trưng cho chúng?
• Định lý cơ bản của giải tích liên kết tích phân và đạo hàm như thế nào?
• Tại sao tích phân Riemann không giao hoán với nhiều giới hạn?
• Tích phân Lebesgue khắc phục những hạn chế này như thế nào?

Key theories

Tiêu chuẩn Lebesgue cho khả tích Riemann

Một hàm bị chặn trên một khoảng đóng là khả tích Riemann khi và chỉ khi tập hợp các điểm gián đoạn của nó có độ đo bằng không, xác định chính xác phạm vi của lý thuyết Riemann.

Định lý cơ bản của giải tích

Phép vi phân và tích phân là các phép toán ngược nhau: tích phân của một đạo hàm khôi phục lại hàm, và đạo hàm của một tích phân khôi phục lại hàm dưới dấu tích phân, liên kết hai phép toán trung tâm của giải tích.

Hội tụ đơn điệu và hội tụ bị chặn

Đối với tích phân Lebesgue, các dãy hàm tăng đơn điệu và các dãy hàm bị chặn cho phép hoán đổi giới hạn và tích phân, sức mạnh hội tụ mà tích phân Riemann thiếu.

Clinical relevance

Lý thuyết tích phân là nền tảng cho việc tính toán diện tích, xác suất, kỳ vọng và các đại lượng tích lũy trong khoa học. Hành vi giới hạn mạnh mẽ của tích phân Lebesgue là cần thiết cho lý thuyết xác suất, phân tích Fourier, tính đầy đủ của các không gian hàm và việc xử lý chặt chẽ các nghiệm của phương trình vi phân.

History

Riemann đã đưa ra định nghĩa chặt chẽ đầu tiên về tích phân vào năm 1854. Việc nó không thể xử lý nhiều giới hạn và các hàm không liên tục đã thúc đẩy tích phân dựa trên độ đo của Lebesgue vào năm 1902, vốn đã trở thành công cụ tiêu chuẩn của giải tích hiện đại và xác suất.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Henri Lebesgue
• Emile Borel

Seminal works

• rudin1976
• stein2005real

Frequently asked questions

Tại sao tích phân Lebesgue được ưu tiên trong giải tích nâng cao?

Nó tích phân được nhiều hàm hơn và, quan trọng hơn, cho phép hoán đổi giới hạn và tích phân dưới các điều kiện nhẹ, điều này làm cho các không gian hàm trở nên đầy đủ và không thể thiếu trong xác suất và phân tích Fourier.

Hai loại tích phân này có bao giờ không đồng nhất không?

Đối với các hàm khả tích Riemann trên một khoảng bị chặn, hai loại tích phân này cho cùng một giá trị; tích phân Lebesgue đơn giản là áp dụng cho một lớp hàm lớn hơn mà tích phân Riemann không xác định.