Tích phân Lebesgue

Tích phân Lebesgue định nghĩa tích phân của một hàm đo được bằng cách xấp xỉ nó với các hàm đơn giản được trọng số hóa theo một độ đo, tạo ra một tích phân tương tác mạnh mẽ với các giới hạn.

Definition

Tích phân Lebesgue định nghĩa tích phân của một hàm đo được không âm là cận trên đúng của các tích phân của các hàm đơn giản nằm dưới nó, và mở rộng điều này cho các hàm có dấu và hàm phức bằng cách tích phân các phần dương và âm, tạo ra một tích phân được định nghĩa đối với bất kỳ độ đo nào.

Scope

Chủ đề này bao gồm các hàm đơn giản và tích phân của các hàm đo được không âm, tích phân của các hàm tổng quát và hàm có giá trị phức, định lý hội tụ đơn điệu, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn, các phát biểu hầu khắp mọi nơi, và sự so sánh với tích phân Riemann.

Core questions

• Tích phân được xây dựng từ các hàm đơn giản và một độ đo như thế nào?
• Trong những điều kiện nào thì một giới hạn có thể được đưa vào bên trong một tích phân?
• Một thuộc tính được giữ hầu khắp mọi nơi có nghĩa là gì, và tại sao nó lại là khái niệm phù hợp?
• Tích phân Lebesgue liên quan và mở rộng tích phân Riemann như thế nào?

Key theories

Định lý hội tụ đơn điệu và bổ đề Fatou

Đối với các hàm đo được không âm, tích phân của một giới hạn tăng là giới hạn của các tích phân, và nói chung tích phân của một liminf không vượt quá liminf của các tích phân, đây là các công cụ cơ bản để đưa giới hạn qua tích phân.

Định lý hội tụ bị chặn

Nếu các hàm hội tụ hầu khắp mọi nơi và bị chặn về độ lớn bởi một hàm khả tích cố định, thì giới hạn của các tích phân của chúng bằng tích phân của giới hạn, đây là định lý hoán đổi được sử dụng nhiều nhất trong tích phân.

Clinical relevance

Tích phân Lebesgue là kỳ vọng của lý thuyết xác suất và là tích phân cơ bản của giải tích Fourier và giải tích hàm; các định lý hội tụ của nó biện minh cho việc hoán đổi giới hạn, tổng và tích phân trong các phép dẫn xuất trong vật lý, thống kê và toán học ứng dụng, và chúng làm cho các không gian hàm Lp trở nên đầy đủ.

History

Lebesgue đã định nghĩa tích phân của mình vào năm 1902, và các định lý hội tụ đã được thiết lập ngay sau đó, với bổ đề Fatou xuất hiện trong công trình năm 1906 của ông về chuỗi và định lý hội tụ đơn điệu của Levi vào năm 1906. Những kết quả này đã mang lại cho giải tích một tích phân hiện đại thân thiện với giới hạn.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Hầu khắp mọi nơi có nghĩa là gì?

Một phát biểu được giữ hầu khắp mọi nơi nếu tập hợp mà nó không đúng có độ đo bằng không; tích phân Lebesgue không thể phát hiện những thay đổi trên các tập hợp như vậy, vì vậy các hàm bằng nhau hầu khắp mọi nơi có cùng tích phân.

Tại sao các định lý hội tụ lại là lợi ích chính?

Các định lý hội tụ đơn điệu và bị chặn cho phép đưa giới hạn vào bên trong tích phân dưới các giả thuyết nhẹ, đây chính là sự linh hoạt mà tích phân Riemann thiếu và là điều mà xác suất và giải tích phụ thuộc vào.