Không gian xác suất và các biến cố

Một không gian xác suất là bộ ba bao gồm một không gian mẫu của các kết quả, một đại số sigma của các biến cố và một độ đo xác suất gán cho mỗi biến cố một giá trị từ 0 đến 1, và đây là nền tảng cho toàn bộ lý thuyết xác suất.

Definition

Một không gian xác suất là một bộ ba bao gồm một không gian mẫu, một đại số sigma của các tập con đo được gọi là các biến cố, và một độ đo xác suất cộng tính đếm được với tổng khối lượng bằng một, gán cho mỗi biến cố xác suất của nó.

Scope

Chủ đề này bao gồm không gian mẫu và đại số sigma của các biến cố, các tiên đề mà một độ đo xác suất phải thỏa mãn, tính liên tục của xác suất theo các dãy biến cố tăng và giảm, việc xây dựng các độ đo từ các hàm tập hợp thông qua mở rộng Caratheodory, và các cấu trúc chuẩn như độ đo Lebesgue trên khoảng đơn vị như một không gian xác suất chính tắc.

Core questions

• Sự khác biệt giữa một kết quả và một biến cố là gì, và tại sao các biến cố phải tạo thành một đại số sigma?
• Những tính chất nào định nghĩa một độ đo xác suất, và làm thế nào chúng tạo ra tính liên tục từ dưới lên và từ trên xuống?
• Một độ đo xác suất được xây dựng như thế nào từ mô tả các xác suất trên các tập hợp đơn giản?
• Không gian xác suất chính tắc nào làm nền tảng cho các mô hình quen thuộc như số ngẫu nhiên đều trên khoảng đơn vị?

Key concepts

• không gian mẫu và các kết quả
• đại số sigma của các biến cố
• tính cộng tính đếm được
• tính liên tục của xác suất
• các biến cố rỗng và các tính chất hầu chắc chắn

Key theories

Các tiên đề của một độ đo xác suất

Một độ đo xác suất là không âm, gán xác suất bằng một cho toàn bộ không gian mẫu, và có tính cộng tính đếm được trên các biến cố rời rạc; các tiên đề này ngụ ý tính đơn điệu, công thức bao hàm-loại trừ, và tính liên tục theo các dãy biến cố đơn điệu.

Định lý mở rộng Caratheodory

Một hàm tập hợp cộng tính đếm được được định nghĩa trên một đại số mở rộng duy nhất thành một độ đo trên đại số sigma được tạo ra, điều này cho phép một độ đo xác suất được xác định trên các biến cố đơn giản và sau đó được mở rộng cho tất cả các biến cố đo được.

Clinical relevance

Hình thức không gian xác suất là yếu tố giúp các phát biểu về các hiện tượng ngẫu nhiên trở nên rõ ràng; mọi mô hình xác suất ứng dụng, từ hệ thống xếp hàng đến suy luận thống kê và mô hình rủi ro, đều ngầm định là một khẳng định về một không gian xác suất và các biến cố được định nghĩa trên đó.

History

Mặc dù các xác suất không chính thức đã được tính toán trong nhiều thế kỷ, khái niệm chính xác về không gian xác suất bắt nguồn từ sự tiên đề hóa của Kolmogorov vào năm 1933, người đã mượn cơ chế mở rộng của Caratheodory từ lý thuyết độ đo để cung cấp một nền tảng chặt chẽ cho các biến cố và xác suất của chúng.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Constantin Caratheodory
• Emile Borel

Seminal works

• kolmogorov1933

Frequently asked questions

Tại sao không gán xác suất cho mọi tập con của không gian mẫu?

Đối với các không gian mẫu không đếm được, không thể định nghĩa một xác suất cộng tính đếm được nhất quán trên tất cả các tập con, vì vậy các xác suất được giới hạn trong một đại số sigma của các biến cố đo được, vẫn chứa mọi biến cố có ý nghĩa thực tiễn.

Hầu chắc chắn có nghĩa là gì?

Một biến cố xảy ra hầu chắc chắn nếu phần bù của nó có xác suất bằng 0; các biến cố rỗng như vậy có thể bị bỏ qua khi tính toán xác suất và kỳ vọng mặc dù chúng không hoàn toàn là không thể.