Đạo hàm Radon-Nikodym là gì?

Đó là hàm mật độ biểu thị một phép đo dưới dạng tích phân đối với một phép đo khác khi phép đo thứ nhất liên tục tuyệt đối đối với phép đo thứ hai; trong xác suất, nó chính xác là hàm mật độ xác suất.

Khi nào có thể hoán đổi thứ tự của một tích phân kép?

Định lý Tonelli cho phép điều đó đối với các hàm đo được không âm trên các không gian sigma-hữu hạn, và định lý Fubini cho phép điều đó bất cứ khi nào hàm khả tích trên tích; cùng nhau chúng bao gồm các trường hợp gặp phải trong thực tế.

Đo lường Radon-Nikodym và Tích số

Những kết quả này so sánh và kết hợp các phép đo: định lý Radon-Nikodym biểu diễn một phép đo dưới dạng mật độ nhân với một phép đo khác, trong khi các phép đo tích số và định lý Fubini biến việc tích phân trên nhiều biến thành một quá trình lặp lại.

Tìm chủ đề với PaperMindSắp ra mắtFind papers & topics

Tools & resources

Tải xuống bản trình chiếu

Learn & explore

VideoSắp ra mắt

Definition

Định lý Radon-Nikodym phát biểu rằng một phép đo liên tục tuyệt đối đối với một phép đo sigma-hữu hạn bằng tích phân của một mật độ đối với nó; một phép đo tích số mở rộng các phép đo trên các không gian nhân tử sang tích của chúng để việc tích phân đa biến có thể được thực hiện từng biến một.

Scope

Chủ đề này bao gồm các phép đo có dấu và phức với các phân tích Hahn và Jordan, tính liên tục tuyệt đối và tính kỳ dị tương hỗ, phân tích Lebesgue, định lý Radon-Nikodym và đạo hàm của nó, việc xây dựng các phép đo tích số, và các định lý Fubini và Tonelli để hoán đổi thứ tự của các tích phân lặp.

Core questions

Một phép đo được phân tích như thế nào tương đối với một phép đo khác thành các phần liên tục tuyệt đối và kỳ dị?
Khi nào một phép đo có mật độ đối với một phép đo khác, và mật độ đó là gì?
Một phép đo trên không gian tích được xây dựng như thế nào từ các phép đo trên các nhân tử?
Khi nào có thể hoán đổi thứ tự của một tích phân lặp?

Key theories

Định lý Radon-Nikodym: Nếu một phép đo liên tục tuyệt đối đối với một phép đo sigma-hữu hạn, nó là tích phân của một hàm mật độ duy nhất, đạo hàm Radon-Nikodym, đây là nền tảng chặt chẽ của mật độ xác suất và kỳ vọng có điều kiện.
Định lý Fubini-Tonelli: Trong điều kiện sigma-hữu hạn, một tích phân trên không gian tích bằng một trong hai tích phân lặp, với dạng Tonelli cho các hàm không âm và dạng Fubini cho các hàm khả tích, biện minh cho việc hoán đổi thứ tự tích phân.

Clinical relevance

Đạo hàm Radon-Nikodym là hàm mật độ xác suất và tỷ lệ khả năng của thống kê, đồng thời là cơ sở chặt chẽ của kỳ vọng có điều kiện trong xác suất, trong khi các phép đo tích số và định lý Fubini là nền tảng cho việc xử lý các phân phối đồng thời, tính độc lập và các tích phân đa chiều trong vật lý và toán học ứng dụng.

History

Radon đã chứng minh định lý mật độ cho không gian Euclid vào năm 1913 và Nikodym đã mở rộng nó cho các phép đo trừu tượng vào năm 1930. Định lý Fubini về tích phân lặp có từ năm 1907 và được bổ sung bởi phiên bản không âm của Tonelli vào năm 1909, hoàn thiện lý thuyết tích phân tích số.

Key figures

Johann Radon
Otton Nikodym
Guido Fubini

Seminal works

folland1999
cohn2013

Frequently asked questions

Đạo hàm Radon-Nikodym là gì?: Đó là hàm mật độ biểu thị một phép đo dưới dạng tích phân đối với một phép đo khác khi phép đo thứ nhất liên tục tuyệt đối đối với phép đo thứ hai; trong xác suất, nó chính xác là hàm mật độ xác suất.
Khi nào có thể hoán đổi thứ tự của một tích phân kép?: Định lý Tonelli cho phép điều đó đối với các hàm đo được không âm trên các không gian sigma-hữu hạn, và định lý Fubini cho phép điều đó bất cứ khi nào hàm khả tích trên tích; cùng nhau chúng bao gồm các trường hợp gặp phải trong thực tế.