Lý thuyết xác suất dựa trên độ đo
Lý thuyết xác suất dựa trên độ đo xây dựng toàn bộ lý thuyết về cơ hội trên một không gian độ đo có tổng khối lượng bằng một, định hình lại các sự kiện thành các tập hợp đo được, các biến ngẫu nhiên thành các hàm đo được và kỳ vọng thành phép tích phân đối với một độ đo xác suất.
Definition
Lý thuyết xác suất dựa trên độ đo là nền tảng tiên đề của xác suất, trong đó xác suất là một độ đo cộng được đếm được có tổng khối lượng bằng một trên một đại số sigma của các sự kiện, các biến ngẫu nhiên là các hàm đo được và kỳ vọng là tích phân của một biến ngẫu nhiên đối với độ đo xác suất.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm các không gian xác suất và đại số sigma của các sự kiện, các độ đo xác suất và các tính chất cơ bản của chúng, tính độc lập và các bổ đề Borel-Cantelli, việc xây dựng kỳ vọng như tích phân Lebesgue với các định lý hội tụ và bất đẳng thức của nó, và kỳ vọng có điều kiện được định nghĩa thông qua định lý Radon-Nikodym.
Sub-topics
Core questions
- Những tiên đề nào mà một phép gán xác suất phải thỏa mãn để hỗ trợ một lý thuyết cơ hội nhất quán?
- Các biến ngẫu nhiên và kỳ vọng của chúng được định nghĩa chặt chẽ như thế nào trên một không gian mẫu trừu tượng?
- Điều đó có nghĩa là gì khi các sự kiện hoặc biến ngẫu nhiên độc lập, và những hệ quả tiệm cận nào theo sau?
- Xác suất có điều kiện được định nghĩa như thế nào khi điều kiện trên các sự kiện có xác suất bằng không hoặc trên toàn bộ một đại số sigma?
Key theories
- Các tiên đề Kolmogorov
- Xác suất được mô hình hóa như một hàm tập hợp cộng được đếm được, không âm, có tổng khối lượng bằng một trên một đại số sigma của các sự kiện, điều này giúp toàn bộ bộ máy của lý thuyết độ đo có thể được sử dụng và mang lại cho xác suất nền tảng hiện đại chặt chẽ của nó.
- Các bổ đề Borel-Cantelli
- Nếu xác suất của một chuỗi các sự kiện có thể tổng hợp được thì chỉ có hữu hạn sự kiện xảy ra hầu như chắc chắn, và ngược lại đối với các sự kiện độc lập với xác suất không thể tổng hợp được thì vô số sự kiện xảy ra hầu như chắc chắn, đưa ra một sự phân đôi rõ ràng cho hành vi đuôi.
- Kỳ vọng có điều kiện thông qua Radon-Nikodym
- Kỳ vọng có điều kiện cho trước một đại số con sigma được định nghĩa là hàm đo được, khả tích duy nhất mà các tích phân của nó trùng khớp trên đại số con sigma đó, với sự tồn tại được đảm bảo bởi định lý Radon-Nikodym; nó là nền tảng của martingales và cập nhật Bayes.
Clinical relevance
Lĩnh vực này là nền tảng của tất cả các lý thuyết xác suất chặt chẽ: các định lý giới hạn, martingales, các quá trình Markov và giải tích ngẫu nhiên đều được phát triển trên nền tảng không gian xác suất, và kỳ vọng có điều kiện nói riêng là cơ sở hình thức của lọc, dự đoán, suy luận Bayes và định giá không chênh lệch của các công cụ phái sinh tài chính.
History
Xác suất được đặt trên một nền tảng chặt chẽ bởi chuyên khảo năm 1933 của Kolmogorov, trong đó xác suất được đồng nhất với một độ đo có tổng khối lượng bằng một và thống nhất các công trình trước đó của Borel, Cantelli và Levy. Quan điểm dựa trên độ đo, được tinh chỉnh bởi Doob và những người khác, đã trở thành ngôn ngữ tiêu chuẩn của lĩnh vực này và được trình bày trong các giáo trình sau đại học của Billingsley, Durrett và Williams.
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- Emile Borel
- Francesco Paolo Cantelli
- Joseph L. Doob
Related topics
Seminal works
- kolmogorov1933
- billingsley1995
Frequently asked questions
- Tại sao xác suất cần lý thuyết độ đo?
- Lý thuyết độ đo cho phép xác suất xử lý các không gian mẫu vô hạn, các biến ngẫu nhiên liên tục và các giới hạn của các sự kiện một cách nhất quán; tính cộng được đếm được của một độ đo chính xác là thuộc tính cần thiết để các định lý giới hạn và kỳ vọng có điều kiện được định nghĩa tốt.
- Đại số sigma của các sự kiện là gì?
- Đó là tập hợp các tập con của không gian mẫu mà một xác suất được gán cho, đóng dưới phép bù và hợp đếm được; sự đóng này là điều cho phép tính toán xác suất của các giới hạn của các sự kiện.