Biến ngẫu nhiên và Hàm phân phối

Một biến ngẫu nhiên là một ánh xạ đo được từ không gian xác suất đến đường thẳng thực, và hàm phân phối của nó, tức là xác suất biến đó không vượt quá một mức nhất định, là cách phổ quát để mô tả cách các giá trị của nó được phân bổ.

Definition

Một biến ngẫu nhiên là một hàm đo được từ không gian xác suất đến các số thực, và hàm phân phối của nó ánh xạ mỗi số thực đến xác suất mà biến đó nhận một giá trị nhỏ hơn hoặc bằng số đó.

Scope

Chủ đề này bao gồm tính đo được của các biến ngẫu nhiên có giá trị thực và vector, hàm phân phối tích lũy và các tính chất xác định của nó như tính đơn điệu, tính liên tục bên phải, và các giới hạn, sự tương ứng giữa các hàm phân phối và các độ đo xác suất trên đường thẳng, các hàm mật độ và sự phân tích Lebesgue thành các phần rời rạc, liên tục tuyệt đối và kỳ dị, cũng như các phân phối đồng thời của các vector ngẫu nhiên với các phân phối biên của chúng.

Core questions

• Ý nghĩa của một hàm trên không gian mẫu là một biến ngẫu nhiên là gì?
• Những tính chất nào đặc trưng cho một hàm phân phối tích lũy, và nó xác định phân phối như thế nào?
• Khi nào một phân phối có hàm mật độ, và những lựa chọn thay thế là gì?
• Các phân phối đồng thời và biên của một số biến ngẫu nhiên có mối liên hệ như thế nào?

Key concepts

• hàm đo được
• hàm phân phối tích lũy
• mật độ xác suất
• phân tích Lebesgue
• phân phối đồng thời và biên

Key theories

Sự tương ứng của hàm phân phối

Mọi độ đo xác suất trên đường thẳng thực tương ứng với một hàm phân phối duy nhất không giảm, liên tục bên phải với giới hạn bằng 0 và 1, và ngược lại, cung cấp một mô tả đầy đủ và cụ thể về các phân phối một chiều.

Phân tích Lebesgue của một phân phối

Bất kỳ phân phối nào trên đường thẳng đều được phân tách duy nhất thành một phần rời rạc được hỗ trợ trên các điểm nguyên tử, một phần liên tục tuyệt đối với một hàm mật độ, và một phần liên tục kỳ dị, làm rõ khi nào một mật độ xác suất tồn tại và khi nào không.

Clinical relevance

Các hàm phân phối là những gì dữ liệu thực nghiệm ước tính và các mô hình thống kê giả định; hàm phân phối thực nghiệm là nền tảng của kiểm định độ phù hợp và phương pháp bootstrap, các phân vị (quantiles) được suy ra từ hàm phân phối xác định giá trị rủi ro (value-at-risk) và các khoảng tham chiếu, và các hàm mật độ là các đối tượng được điều chỉnh trong hầu hết các suy luận dựa trên khả năng (likelihood-based inference).

History

Sự nhận thức rằng một biến ngẫu nhiên chỉ đơn thuần là một hàm đo được và hành vi của nó được nắm bắt bởi một hàm phân phối đã xuất hiện cùng với sự tái cấu trúc lý thuyết độ đo của xác suất vào đầu thế kỷ XX, thay thế cách xử lý từng trường hợp cụ thể của các phân phối trước đó.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Mọi biến ngẫu nhiên có hàm mật độ không?

Không; chỉ những biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối mới có hàm mật độ. Các biến rời rạc đặt khối lượng tại các điểm riêng lẻ, và các phân phối liên tục kỳ dị hiếm gặp hơn không có hàm mật độ mặc dù chúng không có các điểm nguyên tử.

Tại sao hàm phân phối được định nghĩa với dấu nhỏ hơn hoặc bằng thay vì nhỏ hơn hẳn?

Quy ước nhỏ hơn hoặc bằng làm cho hàm phân phối liên tục bên phải, đây là lựa chọn tự nhiên giúp nó tương ứng rõ ràng với độ đo xác suất cơ bản và các điểm nguyên tử của nó.