Kuantum Mekaniğinde Varyasyonel Yöntem
Varyasyonel yöntem, ayarlanabilir parametrelere sahip bir deneme dalga fonksiyonu tahmin ederek ve beklenen enerjiyi minimize ederek bir kuantum sisteminin temel hal enerjisini tahmin etmektedir; elde edilen sonucun gerçek temel hal enerjisinin altına düşmeyeceği garanti edilmektedir.
Tanım
Varyasyonel yöntem, Hamiltoniyen'in beklenen değerinin, bir deneme dalga fonksiyonları ailesi üzerindeki minimumu olarak temel hal enerjisinin tahmin edildiği bir yaklaşıklık tekniğidir; bu değer, gerçek temel hal enerjisi için kesinlikle bir üst sınırdır.
Kapsam
Bu konu, herhangi bir normalize edilmiş deneme durumundaki Hamiltoniyen'in beklenen değerinin temel hal enerjisi için bir üst sınır olduğunu belirten varyasyonel ilkeyi, parametrelendirilmiş deneme dalga fonksiyonlarının kullanımını ve parametreler üzerindeki minimizasyonu, deneme fonksiyonları tabanını kullanan Rayleigh-Ritz yöntemini, ortogonallik yoluyla uyarılmış hallere genişletmeyi ve helyum atomu ile moleküler bağlanma gibi uygulamaları kapsamaktadır.
Temel sorular
- Herhangi bir deneme durumundaki enerji beklentisi neden temel hal enerjisi için bir üst sınırdır?
- Deneme dalga fonksiyonları nasıl seçilir ve parametreleri nasıl optimize edilir?
- Rayleigh-Ritz yöntemi, bir fonksiyon tabanı kullanarak ilkeyi nasıl genişletir?
- Yöntem, uyarılmış halleri tahmin etmek için nasıl uyarlanabilir?
Anahtar kavramlar
- varyasyonel ilke
- deneme dalga fonksiyonu
- enerji üzerinde üst sınır
- Rayleigh-Ritz yöntemi
- parametre optimizasyonu
- uyarılmış hal tahminleri
Temel kuramlar
- Varyasyonel ilke
- Herhangi bir deneme durumu, enerjileri temel hal enerjisini aşan gerçek öz durumların bir süperpozisyonu olduğundan, Hamiltoniyen'in beklenen değeri, en düşük özdeğer tarafından alttan sınırlanmış ağırlıklı bir ortalamadır; bu nedenle, deneme parametreleri üzerinde minimize edilmesi, temel hal enerjisine yukarıdan yaklaşmaktadır.
- Rayleigh-Ritz yöntemi
- Sonlu bir deneme fonksiyonları tabanı seçmek ve enerjiyi minimize etmek, problemi o taban içinde Hamiltoniyen'i köşegenleştirmeye dönüştürmektedir; bu da sistematik olarak geliştirilebilir üst sınırlar sağlamakta ve pratik elektronik yapı hesaplamalarının temelini oluşturmaktadır.
Klinik önem
Varyasyonel yöntem, kuantum kimyası ve yoğun madde teorisinin temel araçlarından biridir: Hartree-Fock ve konfigürasyon etkileşimi hesaplamaları bu yönteme dayanmaktadır, helyum ve moleküller için doğru temel hal enerjileri sağlamaktadır ve çok cisimli sistemler için modern varyasyonel ve tensör ağı yöntemlerinin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Enerjiler için varyasyonel ilke Rayleigh ile ortaya çıkmış ve 1909'da Ritz tarafından sistematize edilmiştir; kuantum mekaniğinde ise Hartree'nin öz-tutarlı alan yöntemi (self-consistent field method) ve Fock'un uzantısı aracılığıyla merkezi bir konuma gelmiş, bu ikisi birlikte hesaplamalı kuantum kimyasının temelini atmıştır.
Öne çıkan isimler
- Lord Rayleigh
- Walther Ritz
- Douglas Hartree
- Vladimir Fock
İlgili konular
Temel eserler
- griffiths2018
- landau1977
Sıkça sorulan sorular
- Varyasyonel tahmin her zaman çok mu yüksektir?
- Temel hal için evet; ilke, deneme enerjisinin bir üst sınır olduğunu garanti etmektedir, bu nedenle daha düşük bir tahmin her zaman daha iyidir. Sınır, yalnızca deneme dalga fonksiyonu gerçek temel hal ile çakıştığında kesindir.
- Varyasyonel yöntem uyarılmış halleri bulabilir mi?
- Evet, dikkatli olmak kaydıyla; deneme fonksiyonlarını temel hale ortogonal olacak şekilde kısıtlayarak ilk uyarılmış hal sınırlandırılabilir ve bir taban ile Rayleigh-Ritz yöntemi, aynı anda birkaç düşük enerjili hal için yaklaşıklıklar sağlamaktadır.