Varyasyonlar hesabı, sıradan hesaptan nasıl farklılaşır?

Sıradan hesap, bir fonksiyonun en büyük veya en küçük olduğu noktaları bulurken, varyasyonlar hesabı, bir integrali ekstremum yapan eğriler veya yüzeyler gibi bütün fonksiyonları bulur. Bilinmeyen, bir sayıdan ziyade bir fonksiyondur ve bir ekstremum için koşul bir diferansiyel denklemdir.

En az eylem prensibi nedir?

Bu, bir sistemin hareketinin eylem olarak adlandırılan bir niceliği durağan hale getirdiğini belirten fiziksel bir ifadedir. Eyleme varyasyonlar hesabının uygulanması, hareket denklemlerini verir; bu nedenle klasik ve kuantum fiziğinin büyük bir kısmı tek bir varyasyonel prensipten türetilebilmektedir.

Varyasyonlar Hesabı

Varyasyonlar hesabı, integral fonksiyonellerini ekstremum yapan fonksiyonları arar; bu, sıradan maksimizasyon ve minimizasyon kavramlarını noktalardan eğrilere ve alanlara genelleştirmektedir.

PaperMind ile konu bulYakındaMakale ve konu bul

Tools & resources

Slaytları indir

Learn & explore

VideoYakında

Tanım

Varyasyonlar hesabı, fonksiyonlara sayılar atayan fonksiyonelleri inceler ve sınır ile yan koşullara tabi olarak bir fonksiyonelin durağan olduğu veya ekstrem bir değer aldığı fonksiyonları araştırmaktadır.

Kapsam

Bu alan, bir ekstremum için gerekli koşullar olarak Euler-Lagrange denklemlerinin türetilmesini, kısıtlamalı ve serbest sınırlı varyasyonel problemleri, minimumlar için ikinci varyasyon ve dışbükeylik koşullarını, minimize edicilerin varlığını ortaya koyan doğrudan yöntemi ve Hamilton mekaniği ile optimal kontrol arasındaki bağlantıyı kapsamaktadır.

Alt konular

Temel sorular

Belirli bir integral fonksiyonelini hangi fonksiyonlar durağan yapar?
Bir minimize ediciyi tanımlayan gerekli ve yeterli koşullar nelerdir?
Bir minimize edici gerçekte ne zaman var olur?
Varyasyonel prensipler, fizik yasalarını nasıl kodlar?

Temel kuramlar

Euler-Lagrange equations: Bir integral fonksiyonelini ekstremum yapan bir fonksiyonun, bir türevi sıfıra eşitlemenin varyasyonel analoğu olan Euler-Lagrange diferansiyel denklemini sağlaması gerekmektedir.
Direct method: Bir minimize edicinin varlığı, minimize edici bir dizi alınarak ve kompaktlık ile alt yarı süreklilik kullanılarak, Euler-Lagrange denkleminin açık çözümünü atlayarak ortaya konulmaktadır.
Variational principles in physics: Hamilton'ın durağan eylem prensibi, mekaniği ve alan kuramını varyasyonel problemler olarak yeniden formüle etmekte ve yönetici denklemlerini varyasyonlar hesabı aracılığıyla birleştirmektedir.

Klinik önem

Varyasyonel yöntemler, en az eylem ve minimum enerji prensipleri aracılığıyla fizikteki temel yasaları ifade etmektedir; ayrıca optimal kontrolün, minimal yüzeyler ve jeodeziklerin geometrisinin, görüntü işlemenin ve mühendislikteki sonlu elemanlar yönteminin temelini oluşturmaktadır.

Tarihçe

Konu, 1696'da Johann Bernoulli tarafından ortaya atılan brakistokron problemiyle başlamıştır. Euler ve Lagrange, on sekizinci yüzyılda genel kuramı ve Euler-Lagrange denklemini geliştirmiştir. Hamilton, mekaniği varyasyonel olarak yeniden formüle etmiştir ve Hilbert'in yirminci yüzyıldaki doğrudan yöntemi ile yirmi üçüncü problemi, varlık kuramını canlandırmıştır.

Öne çıkan isimler

Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
William Rowan Hamilton
David Hilbert

İlgili konular

Temel eserler

gelfand1963
courant1953
dacorogna2008

Sıkça sorulan sorular

Varyasyonlar hesabı, sıradan hesaptan nasıl farklılaşır?: Sıradan hesap, bir fonksiyonun en büyük veya en küçük olduğu noktaları bulurken, varyasyonlar hesabı, bir integrali ekstremum yapan eğriler veya yüzeyler gibi bütün fonksiyonları bulur. Bilinmeyen, bir sayıdan ziyade bir fonksiyondur ve bir ekstremum için koşul bir diferansiyel denklemdir.
En az eylem prensibi nedir?: Bu, bir sistemin hareketinin eylem olarak adlandırılan bir niceliği durağan hale getirdiğini belirten fiziksel bir ifadedir. Eyleme varyasyonlar hesabının uygulanması, hareket denklemlerini verir; bu nedenle klasik ve kuantum fiziğinin büyük bir kısmı tek bir varyasyonel prensipten türetilebilmektedir.