Poisson Süreçleri
Poisson süreci, zaman veya uzayda tamamen rastgele dağılmış noktaların modelidir. Bu modelde, ayrık bölgelerdeki sayımlar bağımsızdır ve Poisson dağılımına sahiptir, bu da onu rastgele varışların kanonik tanımı haline getirmektedir.
Tanım
Poisson süreci, ayrık bölgelerdeki olay sayılarının bağımsız olduğu ve bölgenin büyüklüğüyle orantılı bir ortalamaya sahip Poisson dağılımına uyduğu bir sayma sürecidir; eşdeğer olarak, bağımsız ve durağan artışlara sahip noktaların bir sürecidir.
Kapsam
Bu konu, bağımsız üstel varışlararası sürelerle tanımlanan çizgisel homojen Poisson sürecini, bağımsız Poisson dağılımlı artışlar aracılığıyla eşdeğer karakterizasyonunu, homojen olmayan ve uzamsal Poisson nokta süreçlerini, süperpozisyon ve inceltme (thinning) işlemlerini, koşullu varış sürelerinin sıra istatistikleri özelliğini ve Poisson sürecini en basit sürekli zamanlı Markov sayma süreci olarak ele almaktadır.
Temel sorular
- Tamamen rastgele noktaları hangi bağımsızlık ve dağılım özellikleri karakterize etmektedir?
- Poisson olayları arasındaki bekleme süreleri neden üstel dağılımlıdır ve belleksizdir?
- Süperpozisyon ve inceltme (thinning) işlemleri Poisson süreçlerini nasıl birleştirir ve ayırır?
- Varış sayısı bilindiğinde varış süreleri nasıl dağılmaktadır?
Anahtar kavramlar
- bağımsız artışlar
- üstel varışlararası süreler
- süperpozisyon ve inceltme (thinning)
- homojen olmayan yoğunluk
- uzamsal nokta süreci
Temel kuramlar
- Poisson sürecinin tanımlayıcı özellikleri
- Ayrık kümeler üzerindeki bağımsız Poisson dağılımlı sayımlar, üstel belleksiz varışlararası süreler ve birçok nadir bağımsız olayın limiti, hepsi aynı süreci tanımlamaktadır; bu üç eşdeğer karakterizasyon, sürecin evrenselliğini açıklamaktadır.
- Süperpozisyon, inceltme (thinning) ve sıra istatistikleri özelliği
- Bağımsız Poisson süreçlerini birleştirmek, oranlarını toplar; her noktayı belirli bir olasılıkla bağımsız olarak tutmak, inceltilmiş (thinned) bir Poisson süreci verir; ve sayıma koşullandırıldığında varış süreleri sıralı tekdüze örnekler olarak dağılır, bu da Poisson noktalarını manipüle etmek için bir araç setidir.
Klinik önem
Poisson süreci, kuyruk teorisi ve telekomünikasyondaki varış akışları, radyoaktif bozunmaların ve foton tespitlerinin zamanlaması, sigorta talebi varışları için standart bir modeldir. Ayrıca, yıldızların, ağaçların veya hücresel olayların konumları için uzamsal nokta-süreç modeli olarak kullanılmaktadır; bu alanlarda inceltme (thinning) ve süperpozisyon kuralları analizi daha yönetilebilir kılmaktadır.
Tarihçe
Poisson, 1837'de nadir olayların limit yasasını türetmiştir. Erlang, yirminci yüzyılın başlarında Poisson varışlarını telefon trafiğine uygulayarak kuyruk teorisinin temellerini atmıştır. Kingman ise genel uzaylardaki Poisson nokta süreçlerinin modern ölçü-teorik yaklaşımını sunmuştur.
Öne çıkan isimler
- Simeon Denis Poisson
- Agner Krarup Erlang
- John Kingman
İlgili konular
Temel eserler
- kingman1993
Sıkça sorulan sorular
- Poisson olayları arasındaki süreler neden üsteldir?
- Çünkü süreç belleksizdir: bir sonraki anda bir olayın meydana gelme olasılığı, ne kadar beklendiğine bağlı değildir ve üstel dağılım, bu belleksiz özelliğe sahip tek sürekli dağılımdır.
- Bir Poisson sürecini inceltmek (thinning) ne anlama gelmektedir?
- Eğer bir Poisson sürecinin her noktası belirli bir sabit olasılıkla bağımsız olarak korunursa, kalan noktalar yine o olasılıkla ölçeklenmiş bir orana sahip bir Poisson süreci oluşturur ve korunan ve atılan noktalar bağımsızdır.