Homojen Poisson Süreci
Homojen Poisson süreci, sabit bir ortalama hızda meydana gelen olayları sayar; herhangi bir aralıktaki olay sayısı Poisson dağılımına sahiptir ve ayrık aralıklardaki sayımlar bağımsızdır.
Tanım
Lambda hızına sahip homojen bir Poisson süreci, sıfırdan başlayan, bağımsız durağan artışlara sahip bir sayım sürecidir; bu süreçte t uzunluğundaki bir aralıktaki olay sayısı, ortalaması lambda çarpı t olan Poisson dağılımına sahiptir. Eşdeğer olarak, varışlar arası süreleri lambda hızına sahip bağımsız üstel rastgele değişkenler olan bir süreçtir.
Kapsam
Bu konu, hız parametresini, sayımların Poisson dağılımını, bağımsız ve durağan artışları, varışlar arası sürelerin üstel dağılımını ve varış sürelerinin gama dağılımını, sayıma koşullu olay sürelerinin sıra istatistikleri özelliğini ve bu sonuçların temelini oluşturan belleksiz (memoryless) özelliğini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Homojen Poisson süreci nasıl tanımlanır ve hızıyla nasıl parametrelendirilir?
- Varışlar arası süreler neden üstel ve bağımsızdır?
- Olay sayısı verildiğinde varış süreleri nasıl dağılır?
- Belleksiz özelliğin rolü nedir?
Temel kuramlar
- Sayım ve Varışlar Arası Tanımların Eşdeğerliği
- Bir sayım süreci, ancak ve ancak ardışık varışlar arası süreleri aynı hıza sahip bağımsız üstel dağılımlı ise durağan bağımsız artışlara sahip Poisson artışlarına sahiptir; bu nedenle süreç, sayım yaparak veya bekleme sürelerini toplayarak oluşturulabilir.
- Sıra İstatistikleri Özelliği
- Bir aralıktaki olay sayısına koşullu olarak, olay süreleri o aralıktaki bağımsız tekdüze noktaların sıra istatistikleri olarak dağılır; bu da birçok koşullu hesaplama ve simülasyonu basitleştirmektedir.
Klinik önem
Homojen Poisson süreci, kuyruklama teorisindeki varışlar, radyoaktif bozunma sayımları, foton tespiti ve nadir olayların meydana gelmesi için standart bir modeldir. Ayrıca, temel M/M/1 ve M/G/1 kuyruklarındaki varış mekanizması olarak ve olay-zaman verilerindeki rastgeleliğin sıfır modeli olarak hizmet etmektedir.
Tarihçe
Bortkiewicz'in 1898'deki nadir olaylar analizi ve Erlang'ın 1909'daki telefon trafiği çalışması Poisson sürecini ampirik olarak ortaya koymuştur. Rutherford ve Geiger'in 1910'daki alfa parçacığı sayımları ise klasik bir fiziksel doğrulama sağlamıştır; titiz teori, bağımsız artışlara sahip süreçlerin genel çalışmasından sonra geliştirilmiştir.
Öne çıkan isimler
- Simeon Denis Poisson
- Agner Krarup Erlang
- Ernest Rutherford
İlgili konular
Temel eserler
- kingman1993
Sıkça sorulan sorular
- Poisson varışlar arası süreleri neden üsteldir?
- Artışların bağımsızlığı ve durağanlığı, bir sonraki olaya kadar bekleme süresinin belleksiz olmasını gerektirir ve tek sürekli belleksiz dağılım, sürecin hızına eşit bir hıza sahip olan üstel dağılımdır.
- Hız parametresi ne anlama gelir?
- Lambda hızı, birim zaman başına düşen ortalama olay sayısıdır; bir aralıktaki beklenen sayım, lambdanın aralığın uzunluğuyla çarpımına eşittir ve ortalama varışlar arası süre, bir bölü lambdadır.