Yaygın Olasılık Dağılımları
Binom, Poisson, geometrik, düzgün, normal, üstel ve gama gibi dağılım ailelerinden oluşan küçük bir katalog, her biri basit ve sıkça karşılaşılan bir üretim mekanizmasından kaynaklandığı için olasılık ve istatistik alanlarında tekrar tekrar karşımıza çıkmaktadır.
Tanım
Yaygın olasılık dağılımları, her biri birkaç parametreye sahip bir olasılık kütle veya yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanan, en sık karşılaşılan rastgelelik modellerini modelleyen ve olasılıksal modellerin yapı taşları olarak hizmet eden standart parametrik yasa aileleridir.
Kapsam
Bu konu, Bernoulli, binom, geometrik, negatif binom ve Poisson gibi başlıca ayrık aileleri ile düzgün, üstel, gama, beta ve normal gibi başlıca sürekli aileleri, bunların üretim mekanizmaları, momentleri ve karakteristik fonksiyonları ile birbirlerini bağlayan limit ve yapısal ilişkileri kapsamaktadır.
Temel sorular
- Her standart dağılım hangi üretim mekanizmasından kaynaklanmaktadır?
- Ayrık ve sürekli aileler limitler ve dönüşümler aracılığıyla nasıl ilişkilidir?
- Standart ailelerin momentleri ve karakteristik fonksiyonları nelerdir?
- Normal dağılım aralarında neden merkezi bir yer tutmaktadır?
Anahtar kavramlar
- Bernoulli ve binom
- Poisson ve üstel
- Gama ve beta aileleri
- Normal dağılım
- Aileler arası ilişkiler
Temel kuramlar
- Binom dağılımının Poisson limiti
- Bağımsız deneme sayısı artarken başarı olasılığı, beklenen başarı sayısı sabit kalacak şekilde küçüldüğünde, binom dağılımı Poisson dağılımına yakınsamaktadır; bu da nadir olay sayımlarının neden Poisson dağılımlı olduğunu açıklamaktadır.
- Evrensel bir limit olarak normal dağılım
- Normal dağılım, birçok küçük bağımsız katkının standartlaştırılmış toplamlarının limit yasası olarak ortaya çıkmaktadır; bu nedenle ölçüm hatasını ve toplu nicelikleri modellemekte ve klasik istatistiğin referans dağılımı olarak hizmet etmektedir.
Klinik önem
Bu aileler, uygulamalı olasılık ve istatistik genelinde varsayılan modellerdir: Poisson ve üstel dağılımlar güvenilirlik ve kuyruk teorisinde gelişleri ve ömürleri tanımlarken, binom ve ilgili dağılımlar denemelerde ve anketlerde başarı sayımlarını açıklamaktadır. Normal dağılım ise ölçüm hatası modellerinin, güven aralıklarının ve istatistiksel çıkarımın büyük bir kısmının temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Adı geçen dağılımlar üç yüzyıl boyunca birikmiştir: Bernoulli ve de Moivre sayımları ve normal yaklaşımı incelemiş, Poisson nadir olaylar yasasını türetmiş, Gauss ve Laplace ise hatalar için normal dağılımı kurmuşlardır. Modern yaklaşım, bu dağılımları üretim mekanizmaları ve limit ilişkilerine göre düzenlemektedir.
Öne çıkan isimler
- Abraham de Moivre
- Simeon Denis Poisson
- Carl Friedrich Gauss
- Jacob Bernoulli
İlgili konular
Temel eserler
- feller1968
Sıkça sorulan sorular
- Normal dağılım neden bu kadar sık karşımıza çıkmaktadır?
- Çünkü merkezi limit teoremi, onu birçok bağımsız küçük etkinin standartlaştırılmış toplamlarının limit dağılımı haline getirmektedir; bu nedenle birçok benzer katkıdan oluşan herhangi bir nicelik, ayrıntılardan bağımsız olarak yaklaşık olarak normal dağılıma eğilim göstermektedir.
- Üstel ve Poisson dağılımları nasıl bağlantılıdır?
- Aynı süreci iki farklı açıdan tanımlamaktadırlar: bir Poisson sürecinde sabit bir aralıktaki olay sayısı Poisson dağılımlı iken, olaylar arasındaki bekleme süreleri üstel dağılımlıdır.