Homojen Olmayan ve Bileşik Poisson Süreçleri
Poisson sürecini genelleştiren homojen olmayan bir versiyon, olay oranının zaman veya uzay boyunca değişmesine izin verirken, bileşik bir versiyon her olaya bağımsız rastgele büyüklükler atar.
Tanım
Homojen olmayan bir Poisson süreci, bağımsız artımlara sahip bir sayma sürecidir; bu süreçte belirli bir bölgedeki sayım, sabit olmayan bir yoğunluğun integrali ile verilen ortalamaya sahip Poisson dağılımına uymaktadır. Bileşik bir Poisson süreci ise, bir Poisson sürecinin olaylarında meydana gelen bağımsız, özdeş dağılımlı rastgele sıçramaların toplamıdır.
Kapsam
Bu konu, değişen bir yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif ortalama ölçüsü ile tanımlanan homojen olmayan Poisson sürecini, onu standart bir Poisson sürecine dönüştüren zaman değişimini, Poisson olay zamanlarında bağımsız işaretlerin toplanmasıyla oluşan bileşik Poisson sürecini, bunun ortalamasını, varyansını ve karakteristik fonksiyonunu, ayrıca sigorta riski ve atış gürültüsü (shot noise) uygulamalarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Değişen bir yoğunluk fonksiyonu, sabit oranlı süreci nasıl genelleştirmektedir?
- Homojen olmayan bir süreç, zaman değişimi ile homojen bir sürece nasıl dönüştürülebilir?
- Bileşik bir Poisson toplamının ortalaması ve varyansı nasıl hesaplanmaktadır?
- Bu süreçler sigorta taleplerini ve atış gürültüsünü (shot noise) nasıl modellemektedir?
Temel kuramlar
- Standart Poisson'a zaman değişimi
- Zamanın kümülatif yoğunluk fonksiyonu ile yeniden ölçeklendirilmesi, homojen olmayan bir Poisson sürecini standart, bir oranlı Poisson sürecine dönüştürmektedir. Bu durum, hem homojen olmayan süreci karakterize etmekte hem de ters çevirme veya inceltme (thinning) yoluyla bir simülasyon yöntemi sağlamaktadır.
- Bileşik Poisson dağılımı
- Poisson dağılımlı sayıda bağımsız sıçramanın toplamı, sıçrama dağılımı aracılığıyla ifade edilebilen bir ortalama ve varyansa sahiptir. Karakteristik fonksiyonu ise, oranın sıçrama karakteristik fonksiyonu eksi bir ile çarpımının üssü olup, bu durum onu sonsuz bölünebilir yasalara bağlamaktadır.
Klinik önem
Homojen olmayan Poisson süreçleri, günlük trafik veya mevsimsel hastalık insidansı gibi zamana bağlı geliş oranlarını modellemektedir. Bileşik Poisson süreçleri ise, Cramer-Lundberg risk teorisindeki toplam sigorta taleplerinin ve fizik ile sinyal işlemedeki atış gürültüsünün (shot noise) klasik modeli olarak kullanılmaktadır.
Tarihçe
Lundberg, bileşik Poisson risk modelini 1903'te tanıtmış ve Cramer, 1930'larda bunun iflas teorisini geliştirmiştir. Homojen olmayan Poisson süreçleri ve bunların inceltme (thinning) tabanlı simülasyonu ise, 1979'da Lewis ve Shedler tarafından resmileştirilerek, zamana bağlı olay oranlarını modellemek için standart araçlar haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Filip Lundberg
- Harald Cramer
- John Kingman
İlgili konular
Temel eserler
- kingman1993
Sıkça sorulan sorular
- Homojen olmayan ve bileşik Poisson süreçleri arasındaki fark nedir?
- Homojen olmayan bir süreç birim sıçramaları korurken olay oranının zaman veya uzayda değişmesine izin verir; oysa bileşik bir süreç Poisson sayıda olayı korur ancak her birine rastgele bir büyüklük atar.
- Bileşik bir Poisson süreci sigortacılıkta nasıl kullanılmaktadır?
- Toplam talepleri, bağımsız talep miktarlarının Poisson sayısı olarak modellemektedir; ortaya çıkan toplam, birikmiş taleplerin rezervleri aşma olasılığını inceleyen klasik iflas teorisinin temelini oluşturmaktadır.