M/M/1 Kuyruğu: Tek Sunuculu Kuyruk Modeli
M/M/1 Single-Server Queue · Ayrıca şöyle bilinir: Single-Server Markovian Queue, Birth-Death Queue, Poisson Queue, M/M/1 Kuyruk Modeli
M/M/1 kuyruğu, müşterilerin λ oranında bir Poisson süreciyle geldiği, tek bir sunucu tarafından hizmet verildiği, hizmet sürelerinin üstel olarak dağıldığı ve sonsuz kapasiteli ilk gelen ilk hizmet alır (FCFS) kuyruğunda beklediği temel tek sunuculu kuyruk modelidir. David Kendall tarafından 1953'te, A. K. Erlang'ın yirminci yüzyılın başlarındaki telefon trafiği çalışmalarına dayanarak Kendall gösterim çerçevesinde biçimlendirilen bu model, trafik yoğunluğu ρ = λ/μ birden küçük olduğunda kapalı formda kararlı durum performans ölçümleri verir.
Tam yöntemi oku
Bu bölümü okumak için ücretsiz hesapla giriş yapın.
Yöntem haritası
İlişkili yöntemlerin komşuluğu — keşfetmek için bir düğüm seçin.
Ne zaman kullanılır
Sistemde tek bir sunucu, Poisson gelişleri, üstel dağılımlı hizmet süreleri, sonsuz kuyruk kapasitesi ve ilk gelen ilk hizmet alır disiplini olduğunda M/M/1 modelini kullanın. Kesin dağılım varsayımlarının gerekçelendirilebildiği veya faydalı yaklaşımlar olarak hizmet ettiği ön kapasite planlaması ve darboğaz analizi için uygundur. Temel sınırlama: gerçek hizmet süresi dağılımları nadiren üsteldir; ağır kuyruklu veya deterministik hizmet, alternatif modeller (M/G/1, D/D/1) gerektirir. Sonsuz kapasite varsayımı da fiziksel olarak sınırlı sistemlerde geçerliliğini yitirir. Birden fazla sunucu için M/M/c modeli doğal bir genişlemedir.
Güçlü yönler & sınırlılıklar
- Simülasyon olmadan kesin kapalı form kararlı durum performans ölçümleri verir.
- Hem geliş hem de hizmet süreçlerinin hafızasız (Markov) özelliği nedeniyle matematiksel olarak çözülebilirdir.
- Daha karmaşık kuyruk modellerini karşılaştırmak için temel ölçüt olarak hizmet eder.
- Yalnızca iki parametre (λ ve μ) gerektirmesi, ampirik verilerden kalibre edilmesini kolaylaştırır.
- Üstel hizmet süresi varsayımı genellikle gerçekçi değildir; gerçek hizmet süreleri sıklıkla üstel dağılıma göre daha düşük veya daha yüksek varyansa sahiptir.
- Tek bir sunucuyu varsayar; çoklu sunucu veya çok aşamalı sistemler M/M/c veya kuyruk ağı modelleri gerektirir.
- Sonsuz kuyruk kapasitesi birçok gerçek sistemde fiziksel olarak imkansızdır.
- Kararlı durum sonuçları geçici davranışı veya ρ'nun 1'e yaklaştığı doygunluğa yakın sistemleri tanımlamaz.
SSS
ρ'nun 1'e eşit veya 1'den büyük olması durumunda kuyruğa ne olur?
ρ ≥ 1 olduğunda, geliş hızı hizmet hızına ulaşır veya onu geçer. Kuyruk sınırsız büyür ve kararlı durum dağılımı oluşmaz. L, W, L_q ve W_q için kapalı form formülleri sonsuz veya tanımsız hale gelir. Pratikte, sonlu tampon modelleri (M/M/1/K) veya ek sunucularla sistem yeniden tasarımı gereklidir.
M/M/1 modeli Little Yasası ile nasıl ilişkilidir?
Little Yasası (L = λW), dağılım varsayımlarından bağımsız olarak herhangi bir kararlı kuyruk sistemi için geçerli genel bir sonuçtur. M/M/1 modeli, L ve W için belirli kapalı form ifadeleri sağlar; bunların Little Yasası'nı sağladığını doğrulamak standart bir tutarlılık kontrolüdür. Benzer şekilde, L_q = λW_q kuyruk alt sistemi için geçerlidir.
M/M/1 modeli, Poisson olmayan gelişleri veya üstel olmayan hizmetleri işleyebilir mi?
Hayır — model Poisson gelişleri ve üstel hizmet süreleri ile tanımlanır. Poisson gelişleri için genel hizmet süresi dağılımları söz konusu olduğunda M/G/1 kuyruğu (ve Pollaczek-Khinchine formülü) geçerlidir. Genel gelişler arası dağılımlar için G/G/1 modeli kullanılır, ancak bu model tam kapalı form sonuçları sunmaz.
Kaynaklar
- Kendall, D. G. (1953). Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain. The Annals of Mathematical Statistics, 24(3), 338–354. DOI: 10.1214/aoms/1177728975 ↗
Bu sayfayı kaynak gösterin
ScholarGate. (2026, June 2). M/M/1 Single-Server Queue. ScholarGate. https://scholargate.app/tr/operations-research/mm1-queue
Hangi yöntem?
Bu yöntemi en yakın akrabalarının yanına koyup yan yana okuyun — kütüphane kitapları masaya serer; seçim sizindir.
- Erlang C ModeliYöneylem araştırması↔ karşılaştır
- Little Yasası (L = λW)Yöneylem araştırması↔ karşılaştır
- M/M/c Kuyruğu: Çok Sunuculu Kuyruk ModeliYöneylem araştırması↔ karşılaştır