Yenileme Kuramı
Yenileme kuramı, her olayın meydana gelişinde yeniden başlayan süreçleri inceler; bu süreçlerde ardışık olaylar arasındaki süreler bağımsız ve özdeş dağılımlıdır.
Tanım
Yenileme süreci, gelişler arası süreleri bağımsız ve özdeş dağılımlı pozitif rastgele değişkenler olan bir sayma sürecidir; yenileme kuramı ise ortaya çıkan yenileme fonksiyonunu, asimptotiğini ve yaş ile kalan ömür gibi ilişkili niceliklerin sınırlayıcı davranışını analiz etmektedir.
Kapsam
Bu konu, yenileme süreci ve yenileme fonksiyonunu, yenileme denklemini ve çözümünü, uzun vadeli yenileme oranını veren temel yenileme teoremini, asimptotik artışlar üzerine anahtar yenileme teoremini ve Blackwell teoremini, denetim paradoksunu ve yaş ile kalan ömür dağılımını, ayrıca gecikmeli ve durağan yenileme süreçlerini kapsamaktadır.
Temel sorular
- Yenileme fonksiyonu, gelişler arası dağılımdan nasıl tanımlanır ve hesaplanır?
- Yenilemelerin uzun vadeli oranı nedir?
- Anahtar yenileme ve Blackwell teoremleri asimptotik olarak neyi tanımlar?
- Denetim paradoksu neden tipik olarak gözlemlenen bir aralığı ortalamadan daha uzun kılar?
Temel kuramlar
- Temel ve anahtar yenileme teoremleri
- Uzun vadeli yenileme oranı, ortalama gelişler arası sürenin tersine eşittir ve anahtar yenileme teoremi, bir fonksiyonun yenileme yoğunluğu ile konvolüsyonunun sınırlayıcı değerini vererek geniş bir yenileme denklemleri sınıfının asimptotiğini sağlamaktadır.
- Yaş, kalan ömür ve denetim paradoksu
- Sabit bir gözlem zamanını kapsayan aralık, tipik bir gelişler arası aralıktan stokastik olarak daha uzundur, çünkü daha uzun aralıkların örneklenme olasılığı daha yüksektir; sınırlayıcı yaş ve kalan ömür dağılımları ise denge yenileme yoğunluğundan türemektedir.
Klinik önem
Yenileme kuramı, güvenilirlik mühendisliğinde bileşenlerin değiştirilmesini, bakım ve garanti analizlerinde olayların tekrarlanmasını ve rastgele arıza sürelerine sahip işletim sistemlerinin uzun vadeli maliyetini modellemektedir; ayrıca kuyruk ve envanter modelleri için asimptotik bir temel sağlamaktadır.
Tarihçe
Yenileme kuramı, 1930'lu ve 1940'lı yıllarda nüfus yenileme ve endüstriyel yenileme sorunlarından doğmuştur; Feller ve Smith yenileme denklemini ve asimptotiğini oluşturmuş, Blackwell 1948'de yenileme teoremini kanıtlamış ve Cox'un 1962 tarihli monografisi konuya standart açıklamasını kazandırmıştır.
Öne çıkan isimler
- William Feller
- David Blackwell
- David Cox
- Walter Smith
İlgili konular
Temel eserler
- coxRenewal1962
Sıkça sorulan sorular
- Yenileme süreci nedir?
- Gelişler arası süreleri bağımsız ve özdeş dağılımlı olayları sayan bir süreçtir; Poisson süreci, bu sürelerin üstel olduğu özel bir durumdur.
- Denetim paradoksu nedir?
- Bir yenileme sürecini sabit bir zamanda gözlemlediğinizde, o zamanı içeren aralık, rastgele seçilen bir aralıktan daha uzun olma eğilimindedir, çünkü daha uzun aralıklara denk gelme olasılığınız daha yüksektir.