Binom ve Poisson Dağılımları
Binom ve Poisson dağılımları, biyoistatistikte en sık kullanılan iki ayrık dağılımdır. Binom dağılımı, sabit sayıda bağımsız evet/hayır denemesinde elde edilen başarı sayısını tanımlarken, Poisson dağılımı, olayların sabit bir ortalama hızda meydana geldiği durumlarda, belirli bir zaman veya uzay aralığında meydana gelen olay sayısını tanımlamaktadır. Her ikisi de sağlık verilerinde yaygın olarak bulunan sayım verilerini modellemektedir.
Tanım
Binom dağılımı, her biri p başarı olasılığına sahip sabit n sayıda bağımsız denemede belirli bir başarı sayısını elde etme olasılığını vermektedir; Poisson dağılımı ise, olayların sabit bir ortalama hızda bağımsız olarak meydana geldiği sabit bir aralıkta belirli bir olay sayısının olasılığını vermektedir.
Kapsam
Bu madde, binom ve Poisson dağılımlarının varsayımlarını, parametrelerini, ortalamasını ve varyansını, her birinin tanımladığı durumları, aralarındaki ilişkiyi ve normal yaklaşımlarını kapsamaktadır. Sağlık araştırmalarında oranlar ve olay hızları için kullanımlarını örneklemektedir. Bu, metodolojik bir referans olup klinik bir rehberlik niteliği taşımamaktadır.
Temel sorular
- Binom durumunu Poisson durumundan ayıran varsayımlar nelerdir?
- Her bir dağılımın ortalaması ve varyansı nasıl belirlenmektedir?
- Poisson dağılımı binom dağılımını ne zaman yaklaştırmaktadır?
- Her biri normal dağılım ile ne zaman yaklaştırılabilmektedir?
Anahtar kavramlar
- Bernoulli denemesi
- Deneme sayısı n ve başarı olasılığı p
- Binom ortalaması ve varyansı
- Poisson hız parametresi
- Poisson ortalaması ve varyansının eşitliği
- Binom dağılımına Poisson yaklaşımı
- Normal yaklaşım
- Sayımlar, oranlar ve olay hızları
Mekanizmalar
Binom dağılımı, her biri aynı p başarı olasılığına sahip bir Bernoulli denemesi olan sabit n sayıda bağımsız denemeden kaynaklanmaktadır; başarı sayısının ortalaması np ve varyansı np(1-p) olarak belirlenmektedir. Poisson dağılımı, n'nin büyük ve p'nin küçük olduğu durumlarda, ancak çarpımları (beklenen sayım) orta düzeyde kaldığında binom dağılımının bir limiti olarak ortaya çıkmaktadır; bu nedenle birçok fırsat üzerinde nadir olayları modellemektedir. Poisson dağılımı, hem ortalamasına hem de varyansına eşit tek bir parametreye sahiptir ve bu durum, olayların sabit bir hızda meydana geldiğini yansıtmaktadır. n büyük olduğunda veya Poisson ortalaması büyük olduğunda, her iki dağılım da normal dağılım ile yaklaştırılabilmektedir; bu nedenle oranlar ve hızlar için kullanılan yöntemler genellikle normal tabanlı güven aralıklarını ve testleri ödünç almaktadır. Sağlık araştırmalarında binom dağılımı, bir tedaviye yanıt veren hasta sayısı gibi oranların analizinin temelini oluştururken, Poisson dağılımı ise, belirli bir dönemde bir popülasyondaki yeni vaka sayısı gibi sayımların ve insidans hızlarının temelini oluşturmaktadır.
Klinik önem
Binom ve Poisson modelleri, sağlık literatüründe bildirilen oranların ve olay hızlarının analizinin temelini oluşturmaktadır; bu nedenle hangi modelin uygulanacağını bilmek, yanıt oranları ve hastalık insidansı hakkındaki sonuçların eleştirel okunmasına yardımcı olmaktadır. Bu madde metodolojik olup bireysel bakımı yönlendirmemektedir.
Epidemiyoloji
Poisson dağılımı, kişi-zaman (person-time) üzerinden biriken nispeten nadir olayların sayımları için doğal bir modeldir ve bu nedenle epidemiyolojide insidans hızlarının analizinde temel bir rol oynamaktadır; binom dağılımı ise, kapalı bir gruptaki kümülatif insidans gibi risklerin ve oranların analizinin temelini oluşturmaktadır.
Tarihçe
Binom dağılımı, Jacob Bernoulli tarafından 1713 yılında yayımlanan tekrarlanan denemeler analizinde incelenmiştir ve de Moivre daha sonra bunun normal yaklaşımını türetmiştir. Siméon Denis Poisson, kendi adını taşıyan dağılımı 1837 yılında nadir olaylar için binom dağılımının bir limiti olarak tanıtmıştır. İstatistik tıp ve halk sağlığına uygulandığında her ikisi de sayımları modellemek için standart araçlar haline gelmiştir.
Öne çıkan isimler
- Jacob Bernoulli
- Siméon Denis Poisson
- Abraham de Moivre
İlgili konular
Temel eserler
- rosner-2015
- armitage-2002
- ross-2014
Sıkça sorulan sorular
- Binom veya Poisson modelini ne zaman kullanacağımı nasıl anlarım?
- Sabit sayıda bağımsız evet/hayır denemesi olduğunda ve başarıları saydığınızda binom modelini kullanın; olayların sabit bir deneme sayısı olmaksızın, yaklaşık olarak sabit bir hızda sürekli bir zaman veya uzay aralığında meydana geldiği durumları saydığınızda ise Poisson modelini kullanın.
- Poisson dağılımının ortalaması neden varyansına eşittir?
- Bu durum, dağılımın nadir olaylar için binom dağılımının bir limiti olarak yapısından kaynaklanmaktadır; bu eşitlik aynı zamanda pratik bir kontrol sağlamaktadır, zira varyansı ortalamasını büyük ölçüde aşan sayım verileri (aşırı saçılım - overdispersion) basit bir Poisson modeline uymayabilir.