พิกัดทั่วไปและข้อจำกัด

พิกัดทั่วไปคือตัวแปรอิสระใดๆ ที่ระบุการจัดเรียงตัวของระบบ ซึ่งถูกเลือกมาเพื่อรองรับข้อจำกัดและลดจำนวนระดับความเป็นอิสระที่ต้องติดตาม

Definition

พิกัดทั่วไปคือชุดพารามิเตอร์อิสระที่น้อยที่สุดซึ่งระบุการจัดเรียงตัวของระบบกลไกได้อย่างไม่ซ้ำกันตามข้อจำกัดของระบบ ลดคำอธิบายของระบบลงเหลือจำนวนระดับความเป็นอิสระที่แท้จริง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการเลือกพิกัดทั่วไป แนวคิดของปริภูมิการจัดเรียงตัวและระดับความเป็นอิสระ และการจำแนกประเภทของข้อจำกัดว่าเป็นแบบโฮโลโนมิกหรือไม่ใช่โฮโลโนมิก แบบสเคลอโรโนมิกหรือรีโอโนมิก นอกจากนี้ยังกล่าวถึงวิธีการกำจัดข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกโดยการเลือกพิกัดที่เหมาะสม และหลักการของงานเสมือนและหลักการของดาเลมเบิร์ตจัดการกับแรงจำกัดได้อย่างไร

Core questions

• การเลือกพิกัดทั่วไปช่วยลดจำนวนตัวแปรในปัญหาได้อย่างไร?
• อะไรคือสิ่งที่แยกแยะข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกออกจากไม่ใช่โฮโลโนมิก?
• หลักการของดาเลมเบิร์ตและงานเสมือนกำจัดแรงจำกัดที่ไม่ทราบค่าได้อย่างไร?

Key concepts

• พิกัดทั่วไป
• ระดับความเป็นอิสระ
• ปริภูมิการจัดเรียงตัว
• ข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกเทียบกับไม่ใช่โฮโลโนมิก
• การกระจัดเสมือนและงานเสมือน
• แรงจำกัด

Key theories

ข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกและระดับความเป็นอิสระ

ข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกสามารถแสดงได้ในรูปสมการระหว่างพิกัดและเวลา แต่ละข้อจำกัดจะลดระดับความเป็นอิสระลงหนึ่งระดับและสามารถถูกรวมเข้าได้โดยการเลือกพิกัดทั่วไปที่เหมาะสม

หลักการของดาเลมเบิร์ตและงานเสมือน

โดยการอนุญาตให้มีการกระจัดเสมือนที่สอดคล้องกับข้อจำกัดเท่านั้น แรงจำกัดซึ่งไม่ทำงานเสมือนจะหายไป ทำให้เหลือสมการการเคลื่อนที่ในรูปของแรงที่กระทำเท่านั้น

Clinical relevance

การเลือกพิกัดทั่วไปที่เคารพข้อจำกัดเป็นสิ่งที่ทำให้พลวัตของการเชื่อมโยง แขนหุ่นยนต์ ชุดเฟือง และกลไกข้อต่อสามารถจัดการได้ และความแตกต่างระหว่างโฮโลโนมิกกับไม่ใช่โฮโลโนมิกมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการควบคุมระบบล้อและระบบที่เคลื่อนที่ด้วยล้อ

History

หลักการของดาเลมเบิร์ตในปี ค.ศ. 1743 ได้ลดพลวัตลงสู่ปัญหาของสถิตยศาสตร์โดยการรวมแรงเฉื่อยและแรงที่กระทำ และลากรองจ์ได้ต่อยอดจากหลักการนี้เพื่อพัฒนาวิธีการของพิกัดทั่วไปที่กำจัดแรงจำกัด การจำแนกประเภทของข้อจำกัดอย่างเป็นระบบ รวมถึงคำว่าไม่ใช่โฮโลโนมิก ได้รับการปรับปรุงให้ชัดเจนขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่สิบเก้าโดยเฮิรตซ์และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Joseph-Louis Lagrange
• Heinrich Hertz

Seminal works

• goldstein2002
• lanczos1970

Frequently asked questions

อะไรทำให้ข้อจำกัดเป็นแบบไม่ใช่โฮโลโนมิก?

ข้อจำกัดแบบไม่ใช่โฮโลโนมิกไม่สามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตระหว่างพิกัดเพียงอย่างเดียวได้ โดยทั่วไปแล้วจะเกี่ยวข้องกับความเร็วในลักษณะที่ไม่สามารถอินทิเกรตได้ เช่นเดียวกับการกลิ้งของล้อโดยไม่ลื่นไถล และไม่สามารถกำจัดออกได้ด้วยการเปลี่ยนพิกัด

เหตุใดจึงสะดวกที่จะกำจัดแรงจำกัดออกไป?

แรงจำกัดมักจะไม่ทราบค่าและไม่น่าสนใจ เช่น แรงปฏิกิริยาตั้งฉากจากราง เนื่องจากแรงเหล่านี้ไม่ทำงานภายใต้การกระจัดเสมือนที่สอดคล้องกับข้อจำกัด วิธีการของลากรองจ์จึงกำจัดแรงเหล่านี้ออกจากสมการการเคลื่อนที่โดยอัตโนมัติ