กระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์และปัวซงประกอบ

กระบวนการปัวซงแบบไม่เอกพันธ์เป็นการขยายแนวคิดของกระบวนการปัวซง โดยอนุญาตให้อัตราการเกิดเหตุการณ์แปรผันตามเวลาหรือพื้นที่ ในขณะที่กระบวนการปัวซงประกอบจะกำหนดขนาดสุ่มที่เป็นอิสระให้กับแต่ละเหตุการณ์

Definition

กระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์คือกระบวนการนับที่มีส่วนเพิ่มที่เป็นอิสระ ซึ่งการนับในขอบเขตหนึ่งมีการแจกแจงแบบปัวซงโดยมีค่าเฉลี่ยที่กำหนดโดยปริพันธ์ของความเข้มที่ไม่คงที่ และกระบวนการปัวซงประกอบคือผลรวมของการกระโดดสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเดียวกันและเป็นอิสระ ซึ่งเกิดขึ้น ณ เหตุการณ์ของกระบวนการปัวซง

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมกระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์ที่กำหนดโดยฟังก์ชันความเข้มที่แปรผันและมาตรวัดค่าเฉลี่ยสะสม การเปลี่ยนแปลงเวลาที่แปลงกระบวนการนี้ให้เป็นกระบวนการปัวซงมาตรฐาน กระบวนการปัวซงประกอบที่เกิดจากการรวมขนาดสุ่มอิสระ ณ เวลาเกิดเหตุการณ์ปัวซง ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของกระบวนการนี้ รวมถึงการประยุกต์ใช้ในการประกันภัยความเสี่ยงและสัญญาณรบกวนแบบช็อต (shot noise)

Core questions

• ฟังก์ชันความเข้มที่แปรผันทำให้กระบวนการอัตราคงที่ทั่วไปได้อย่างไร?
• กระบวนการไม่เอกพันธ์สามารถแปลงเป็นกระบวนการเอกพันธ์ได้อย่างไรโดยการเปลี่ยนแปลงเวลา?
• ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของผลรวมปัวซงประกอบคำนวณได้อย่างไร?
• กระบวนการเหล่านี้จำลองการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนและการรบกวนแบบช็อตได้อย่างไร?

Key theories

การเปลี่ยนแปลงเวลาเป็นปัวซงมาตรฐาน

การปรับขนาดเวลาด้วยฟังก์ชันความเข้มสะสมจะเปลี่ยนกระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์ให้เป็นกระบวนการปัวซงอัตราหนึ่งมาตรฐาน ซึ่งทั้งสองอย่างนี้เป็นลักษณะเฉพาะของกระบวนการไม่เอกพันธ์และเป็นวิธีการจำลองโดยการผกผันหรือการทำให้บางลง

การแจกแจงปัวซงประกอบ

ผลรวมของการกระโดดอิสระที่มีการแจกแจงแบบปัวซงมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่สามารถแสดงออกได้ผ่านการแจกแจงของการกระโดด และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของมันคือเลขชี้กำลังของอัตราคูณด้วยฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระโดดลบหนึ่ง ซึ่งเชื่อมโยงกับกฎการหารไม่สิ้นสุด (infinitely divisible laws)

Clinical relevance

กระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์ใช้จำลองอัตราการมาถึงที่แปรผันตามเวลา เช่น ปริมาณการจราจรรายวันหรืออุบัติการณ์ของโรคตามฤดูกาล ในขณะที่กระบวนการปัวซงประกอบเป็นแบบจำลองคลาสสิกของการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนรวมในการประกันภัยตามทฤษฎีความเสี่ยงของ Cramer-Lundberg และของสัญญาณรบกวนแบบช็อตในฟิสิกส์และการประมวลผลสัญญาณ

History

Lundberg ได้นำเสนอแบบจำลองความเสี่ยงปัวซงประกอบในปี 1903 และ Cramer ได้พัฒนาทฤษฎีการล้มละลาย (ruin theory) ในทศวรรษ 1930 ในขณะที่กระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์และการจำลองโดยการทำให้บางลง (thinning-based simulation) ซึ่ง Lewis และ Shedler ได้ทำให้เป็นทางการในปี 1979 ได้กลายเป็นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับการจำลองอัตราการเกิดเหตุการณ์ที่แปรผันตามเวลา

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

ความแตกต่างระหว่างกระบวนการปัวซงไม่เอกพันธ์และปัวซงประกอบคืออะไร?

กระบวนการไม่เอกพันธ์ยังคงมีการกระโดดหนึ่งหน่วย แต่ทำให้อัตราการเกิดเหตุการณ์แปรผันตามเวลาหรือพื้นที่ ในขณะที่กระบวนการประกอบยังคงมีจำนวนเหตุการณ์แบบปัวซง แต่ให้แต่ละเหตุการณ์มีขนาดสุ่ม

กระบวนการปัวซงประกอบถูกนำมาใช้ในการประกันภัยอย่างไร?

ใช้จำลองการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนทั้งหมดเป็นจำนวนปัวซงของจำนวนเงินเรียกร้องที่เป็นอิสระ ผลรวมที่ได้เป็นพื้นฐานของทฤษฎีการล้มละลายแบบคลาสสิก ซึ่งศึกษาความน่าจะเป็นที่การเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนสะสมเกินเงินสำรอง