ทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกล

ทฤษฎีบทการลู่เข้าของดูบแสดงให้เห็นว่ามาร์ติงเกลที่ไม่มีความผันผวนมากเกินไปจะต้องเข้าสู่ขีดจำกัดเกือบแน่นอน ซึ่งเป็นแนวทางที่มีประสิทธิภาพและเป็นสากลอย่างมากในการพิสูจน์ว่าลำดับสุ่มลู่เข้า

Definition

ทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกลเป็นผลลัพธ์ที่ระบุว่ามาร์ติงเกลที่มีขอบเขตในค่าเฉลี่ยอันดับแรกจะลู่เข้าเกือบแน่นอน และภายใต้การอินทิกรัลเอกรูป มันจะลู่เข้าในค่าเฉลี่ยอันดับแรกและเท่ากับความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของขีดจำกัดของมัน

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมอสมการการข้ามขึ้นของดูบและทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกลแบบเกือบแน่นอนสำหรับกระบวนการที่มีขอบเขตในค่าเฉลี่ยอันดับแรก บทบาทของการอินทิกรัลเอกรูปในการยกระดับไปสู่การลู่เข้าในค่าเฉลี่ยอันดับแรกและการปิดมาร์ติงเกลด้วยขีดจำกัดของมัน การลู่เข้าในค่าเฉลี่ยอันดับที่ p สำหรับ p ที่มากกว่าหนึ่ง และทฤษฎีบทการลู่เข้าขึ้นและลงของเลวีพร้อมกับกฎศูนย์-หนึ่งที่เป็นบทแทรก

Core questions

• เหตุใดการมีขอบเขตในค่าเฉลี่ยอันดับแรกจึงบังคับให้มาร์ติงเกลลู่เข้าเกือบแน่นอน?
• เงื่อนไขเพิ่มเติมใดที่ทำให้เกิดการลู่เข้าในค่าเฉลี่ยและตัวแปรขีดจำกัดที่ปิด?
• ทฤษฎีบทของเลวีอธิบายขีดจำกัดของความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขตามการกรองอย่างไร?
• ทฤษฎีบทเหล่านี้ให้กฎศูนย์-หนึ่งและผลลัพธ์การลู่เข้าอื่นๆ ได้อย่างไร?

Key concepts

• อสมการการข้ามขึ้น
• การลู่เข้าเกือบแน่นอน
• การอินทิกรัลเอกรูป
• มาร์ติงเกลแบบปิด
• กฎศูนย์-หนึ่งของเลวี

Key theories

ทฤษฎีบทการลู่เข้าของมาร์ติงเกลของดูบ

มาร์ติงเกลที่โมเมนต์สัมบูรณ์อันดับแรกมีขอบเขตจะลู่เข้าเกือบแน่นอนสู่ขีดจำกัดจำกัด ซึ่งพิสูจน์ได้ผ่านอสมการการข้ามขึ้นที่จำกัดจำนวนครั้งที่กระบวนการสามารถข้ามช่วงใดๆ ทำให้เกิดการลู่เข้าภายใต้สมมติฐานขั้นต่ำ

การอินทิกรัลเอกรูปและการลู่เข้าในค่าเฉลี่ย

มาร์ติงเกลที่อินทิกรัลเอกรูปจะลู่เข้าทั้งเกือบแน่นอนและในค่าเฉลี่ยอันดับแรก และถูกปิดด้วยขีดจำกัดของมัน ซึ่งหมายความว่าแต่ละพจน์คือความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของขีดจำกัดนั้นเมื่อกำหนดข้อมูลที่สอดคล้องกัน ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของมาร์ติงเกลที่มีพฤติกรรมดี

ทฤษฎีบทขึ้นและลงของเลวี

ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรที่อินทิเกรตได้คงที่เมื่อกำหนดตระกูลของซิกมา-พีชคณิตที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงจะลู่เข้าเกือบแน่นอนและในค่าเฉลี่ยสู่ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดซิกมา-พีชคณิตที่จำกัด โดยมีกฎศูนย์-หนึ่งของโคลโมโกรอฟเป็นกรณีพิเศษ

Clinical relevance

การลู่เข้าของมาร์ติงเกลเป็นพื้นฐานของความสอดคล้องของค่าเบย์เซียนภายหลังเมื่อข้อมูลสะสม การลู่เข้าเกือบแน่นอนของการประมาณค่าเชิงสุ่มและอัลกอริทึมการเรียนรู้ออนไลน์ กฎจำนวนมากที่แข็งแกร่งผ่านมาร์ติงเกลแบบย้อนกลับ และการลู่เข้าของอัตราส่วนความน่าจะเป็นที่ควบคุมการทดสอบแบบลำดับและการเลือกแบบจำลอง

History

ดูบได้พิสูจน์ทฤษฎีบทการลู่เข้าเกือบแน่นอนและนำเสนอการอ้างเหตุผลการข้ามขึ้นในช่วงทศวรรษ 1940 และเลวีได้สร้างการลู่เข้าของความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขตามการกรองไว้ก่อนหน้านี้ ซึ่งรวมกันแล้วสิ่งเหล่านี้ได้กลายเป็นแกนหลักของการลู่เข้าของทฤษฎีมาร์ติงเกลที่นำเสนอในตำราสมัยใหม่

Key figures

• Joseph L. Doob
• Paul Levy
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

การลู่เข้าเกือบแน่นอนของมาร์ติงเกลหมายถึงการลู่เข้าของค่าเฉลี่ยของมันหรือไม่?

ไม่เสมอไป; การลู่เข้าเกือบแน่นอนเป็นผลมาจากการมีขอบเขตในค่าเฉลี่ยอันดับแรก แต่การลู่เข้าของความคาดหวังและคุณสมบัติการปิดต้องใช้เงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าคือการอินทิกรัลเอกรูป

อสมการการข้ามขึ้นคืออะไร?

มันจำกัดจำนวนครั้งที่คาดว่าจะเกิดการข้ามขึ้นของมาร์ติงเกลในช่วงเวลาที่กำหนดโดยพิจารณาจากขนาดปัจจุบันของมัน เนื่องจากลำดับที่มีขอบเขตที่ไม่ลู่เข้าจะต้องแกว่งข้ามช่วงเวลาบางช่วงอย่างไม่จำกัดจำนวนครั้ง ขอบเขตนี้จึงบังคับให้เกิดการลู่เข้าเกือบแน่นอน