กฎของจำนวนมาก

กฎของจำนวนมากระบุว่าค่าเฉลี่ยของการสังเกตการณ์อิสระจำนวนมากของปริมาณสุ่มจะลู่เข้าสู่ค่าคาดหวังของมัน ซึ่งให้เนื้อหาทางคณิตศาสตร์แก่อุปลักษณ์ที่ว่าความถี่ในระยะยาวจะคงที่

Definition

กฎของจำนวนมากยืนยันว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างของตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกันและมีค่าเฉลี่ยจำกัดจะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยนั้น โดยเป็นการลู่เข้าในความน่าจะเป็นสำหรับกฎอ่อน และเป็นการลู่เข้าเกือบแน่นอนสำหรับกฎเข้ม

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมกฎอ่อนของจำนวนมากที่พิสูจน์โดยอสมการของเชบีเชฟและโดยการตัดทอน, กฎอ่อนของคินชินภายใต้เงื่อนไขเพียงแค่มีค่าเฉลี่ยจำกัด, กฎเข้มของจำนวนมากของโคลโมโกรอฟพร้อมด้วยอสมการสูงสุดและทฤษฎีสามอนุกรม, ความแตกต่างระหว่างการลู่เข้าในความน่าจะเป็นและการลู่เข้าเกือบแน่นอน, และความล้มเหลวของกฎสำหรับตัวแปรที่ไม่มีค่าเฉลี่ยจำกัด

Core questions

• ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงในแง่ใดที่แม่นยำเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น?
• ความแตกต่างระหว่างกฎอ่อนและกฎเข้มคืออะไร และแต่ละกฎต้องการสมมติฐานใดบ้าง?
• อสมการและการแยกส่วนใดที่ทำให้กฎเข้มสามารถพิสูจน์ได้?
• จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อการแจกแจงพื้นฐานไม่มีค่าเฉลี่ยจำกัด?

Key concepts

• การลู่เข้าในความน่าจะเป็น
• การลู่เข้าเกือบแน่นอน
• อสมการเชบีเชฟ
• วิธีการตัดทอน
• ทฤษฎีสามอนุกรมของโคลโมโกรอฟ

Key theories

กฎอ่อนของจำนวนมาก

สำหรับตัวแปรอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกันและมีค่าเฉลี่ยจำกัด ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยในความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากอสมการของเชบีเชฟเมื่อความแปรปรวนมีจำกัด และจากการให้เหตุผลแบบตัดทอนภายใต้สมมติฐานที่อ่อนกว่าของคินชิน

กฎเข้มของจำนวนมากของโคลโมโกรอฟ

สำหรับตัวแปรอิสระที่มีการแจกแจงเหมือนกัน การมีค่าเฉลี่ยจำกัดเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเกือบแน่นอน ซึ่งเป็นรูปแบบที่แน่นอนของกฎและเป็นพื้นฐานสำหรับการตีความความน่าจะเป็นแบบความถี่

Clinical relevance

กฎเข้มเป็นสิ่งที่อนุญาตให้ประมาณค่าคาดหวังด้วยค่าเฉลี่ยตัวอย่าง และเป็นพื้นฐานของการรวมแบบมอนติคาร์โล, ความสอดคล้องของตัวประมาณค่าในสถิติ, และการตีความความน่าจะเป็นแบบความถี่นิยมว่าเป็นความถี่สัมพัทธ์ในระยะยาว; ความล้มเหลวของกฎนี้สำหรับข้อมูลที่มีหางหนาเตือนให้ระวังการหาค่าเฉลี่ยของปริมาณที่มีค่าเฉลี่ยเป็นอนันต์ เช่น การสูญเสียจากการประกันภัยบางประเภท

History

แบร์นูลลีพิสูจน์กฎแรกของจำนวนมากสำหรับสัดส่วนทวินามในปี ค.ศ. 1713 เชบีเชฟให้การพิสูจน์อย่างง่ายโดยอาศัยความแปรปรวน, คินชินลดทอนสมมติฐานให้เหลือเพียงค่าเฉลี่ยจำกัด, และโคลโมโกรอฟได้สร้างกฎเข้มที่แน่นอนเกือบแน่นอนพร้อมกับอสมการสูงสุดและทฤษฎีสามอนุกรมที่พิสูจน์กฎนั้น

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Pafnuty Chebyshev
• Aleksandr Khinchin
• Andrey Kolmogorov

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

ความแตกต่างระหว่างกฎอ่อนและกฎเข้มของจำนวนมากคืออะไร?

กฎอ่อนกล่าวว่าค่าเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยสำหรับขนาดตัวอย่างที่ใหญ่และคงที่ใดๆ ในขณะที่กฎเข้มกล่าวว่าด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง ลำดับทั้งหมดของค่าเฉลี่ยจะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ย; กฎเข้มเป็นการกล่าวอ้างที่แน่นอนกว่า

กฎของจำนวนมากสามารถล้มเหลวได้หรือไม่?

ได้; หากการแจกแจงพื้นฐานไม่มีค่าเฉลี่ยจำกัด เช่น การแจกแจงโคชี ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะไม่ลู่เข้าสู่ค่าคงที่เลย และกฎในรูปแบบปกติจะไม่สามารถใช้ได้