การแจกแจงแบบทวินามและการแจกแจงแบบปัวซง

การแจกแจงแบบทวินามและการแจกแจงแบบปัวซงเป็นการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องสองแบบที่ใช้บ่อยที่สุดในชีวสถิติ การแจกแจงแบบทวินามอธิบายจำนวนความสำเร็จในการทดลองแบบใช่/ไม่ใช่ที่เป็นอิสระต่อกันจำนวนหนึ่ง ในขณะที่การแจกแจงแบบปัวซงอธิบายจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหรือพื้นที่ที่กำหนด เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นด้วยอัตราเฉลี่ยคงที่ ทั้งสองแบบจำลองจำนวนนับ ซึ่งพบได้ทั่วไปในข้อมูลสุขภาพ

Definition

การแจกแจงแบบทวินามให้ความน่าจะเป็นของการได้จำนวนความสำเร็จที่กำหนดในการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p; การแจกแจงแบบปัวซงให้ความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนด เมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างอิสระด้วยอัตราเฉลี่ยคงที่

Scope

เนื้อหานี้ครอบคลุมสมมติฐาน พารามิเตอร์ ค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินามและปัวซง สถานการณ์ที่แต่ละแบบอธิบาย ความสัมพันธ์ระหว่างกัน และการประมาณค่าด้วยการแจกแจงปกติ เนื้อหาจะแสดงให้เห็นถึงการใช้งานสำหรับการวิเคราะห์สัดส่วนและอัตราการเกิดเหตุการณ์ในการวิจัยด้านสุขภาพ เป็นการอ้างอิงเชิงระเบียบวิธีวิจัย ไม่ใช่คำแนะนำทางคลินิก

Core questions

• สมมติฐานใดที่กำหนดสถานการณ์แบบทวินามเทียบกับสถานการณ์แบบปัวซง?
• ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงแต่ละแบบถูกกำหนดอย่างไร?
• เมื่อใดที่การแจกแจงแบบปัวซงประมาณการแจกแจงแบบทวินามได้?
• เมื่อใดที่แต่ละแบบสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงปกติ?

Key concepts

• การทดลองแบร์นูลลี
• จำนวนครั้งที่ทดลอง n และความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p
• ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแบบทวินาม
• พารามิเตอร์อัตราแบบปัวซง
• ความเท่ากันของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแบบปัวซง
• การประมาณค่าแบบปัวซงสำหรับทวินาม
• การประมาณค่าด้วยการแจกแจงปกติ
• จำนวนนับ สัดส่วน และอัตราการเกิดเหตุการณ์

Mechanisms

การแจกแจงแบบทวินามเกิดขึ้นจากการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละครั้งเป็นการทดลองแบบแบร์นูลลีที่มีความน่าจะเป็นของความสำเร็จ p เท่ากัน จำนวนความสำเร็จมีค่าเฉลี่ย np และความแปรปรวน np(1-p) การแจกแจงแบบปัวซงเกิดขึ้นเป็นลิมิตของการแจกแจงแบบทวินามเมื่อ n มีค่ามากและ p มีค่าน้อย ในขณะที่ผลคูณของทั้งสอง (จำนวนที่คาดหวัง) ยังคงอยู่ในระดับปานกลาง ดังนั้นจึงเป็นแบบจำลองสำหรับเหตุการณ์ที่หายากเมื่อมีโอกาสจำนวนมาก มีพารามิเตอร์เดียวที่เท่ากับทั้งค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ซึ่งสะท้อนถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอัตราคงที่ เมื่อ n มีค่ามาก หรือเมื่อค่าเฉลี่ยของปัวซงมีค่ามาก การแจกแจงทั้งสองสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงปกติ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีการสำหรับสัดส่วนและอัตราจึงมักใช้ช่วงความเชื่อมั่นและการทดสอบที่อิงกับการแจกแจงปกติ ในการวิจัยด้านสุขภาพ การแจกแจงแบบทวินามเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์สัดส่วน เช่น จำนวนผู้ป่วยที่ตอบสนองต่อการรักษา ในขณะที่การแจกแจงแบบปัวซงเป็นพื้นฐานของจำนวนนับและอัตราอุบัติการณ์ เช่น จำนวนผู้ป่วยรายใหม่ในประชากรในช่วงเวลาหนึ่ง

Clinical relevance

แบบจำลองทวินามและปัวซงเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์สัดส่วนและอัตราการเกิดเหตุการณ์ที่รายงานตลอดเอกสารทางการแพทย์ ดังนั้นการตระหนักว่าแบบจำลองใดเหมาะสมจะช่วยในการอ่านผลลัพธ์เกี่ยวกับอัตราการตอบสนองและอุบัติการณ์ของโรคได้อย่างมีวิจารณญาณ เนื้อหานี้เป็นเชิงระเบียบวิธีวิจัยและไม่ได้ให้คำแนะนำในการดูแลผู้ป่วยแต่ละราย

Epidemiology

การแจกแจงแบบปัวซงเป็นแบบจำลองธรรมชาติสำหรับจำนวนเหตุการณ์ที่ค่อนข้างหายากที่สะสมในช่วงเวลาบุคคล-เวลา (person-time) ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการวิเคราะห์อัตราอุบัติการณ์ในระบาดวิทยา การแจกแจงแบบทวินามเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ความเสี่ยงและสัดส่วน เช่น อุบัติการณ์สะสมในกลุ่มปิด

History

การแจกแจงแบบทวินามได้รับการศึกษาโดย Jacob Bernoulli ในการวิเคราะห์การทดลองซ้ำๆ ของเขาที่ตีพิมพ์ในปี 1713 และ de Moivre ได้พัฒนาการประมาณค่าด้วยการแจกแจงปกติในภายหลัง Siméon Denis Poisson ได้นำเสนอการแจกแจงที่ใช้ชื่อของเขาในปี 1837 ในฐานะลิมิตของการแจกแจงแบบทวินามสำหรับเหตุการณ์ที่หายาก ทั้งสองกลายเป็นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับการสร้างแบบจำลองจำนวนนับเมื่อมีการนำสถิติมาประยุกต์ใช้กับการแพทย์และสาธารณสุข

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าจะใช้แบบจำลองทวินามหรือแบบจำลองปัวซง?

ใช้แบบจำลองทวินามเมื่อมีจำนวนการทดลองแบบใช่/ไม่ใช่ที่เป็นอิสระต่อกันที่แน่นอน และคุณนับความสำเร็จ; ใช้แบบจำลองปัวซงเมื่อคุณนับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหรือพื้นที่ต่อเนื่องด้วยอัตราที่ค่อนข้างคงที่ โดยไม่มีจำนวนการทดลองที่แน่นอน

ทำไมค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบปัวซงจึงเท่ากับความแปรปรวน?

เป็นผลมาจากโครงสร้างของการแจกแจงในฐานะลิมิตของทวินามสำหรับเหตุการณ์ที่หายาก ความเท่ากันนี้ยังเป็นการตรวจสอบในทางปฏิบัติด้วย เนื่องจากข้อมูลจำนวนนับที่มีความแปรปรวนเกินค่าเฉลี่ยอย่างมาก (overdispersion) อาจไม่เหมาะสมกับแบบจำลองปัวซงแบบง่าย