ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขและความเป็นอิสระ

ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขอธิบายว่าความเป็นไปได้ของเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อทราบว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งได้เกิดขึ้นแล้ว และความเป็นอิสระอธิบายกรณีพิเศษที่การทราบเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้บอกอะไรเราเกี่ยวกับอีกเหตุการณ์หนึ่งเลย แนวคิดเหล่านี้ร่วมกับทฤษฎีบทของเบย์ส อธิบายว่าหลักฐานปรับปรุงความเชื่ออย่างไร และเป็นพื้นฐานของการตีความการทดสอบวินิจฉัยทางการแพทย์

Definition

ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A เมื่อกำหนดให้เหตุการณ์ B คือความน่าจะเป็นที่ A จะเกิดขึ้นเมื่อทราบว่า B ได้เกิดขึ้นแล้ว ซึ่งนิยามว่าเป็นความน่าจะเป็นของทั้ง A และ B หารด้วยความน่าจะเป็นของ B; A และ B เป็นอิสระต่อกันหากความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของ A เมื่อกำหนดให้ B เท่ากับความน่าจะเป็นที่ไม่มีเงื่อนไขของ A

Scope

บทความนี้ครอบคลุมคำจำกัดความของความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข กฎการคูณ ความเป็นอิสระทางสถิติ กฎความน่าจะเป็นรวม และทฤษฎีบทของเบย์ส โดยเชื่อมโยงสิ่งเหล่านี้กับการประเมินการทดสอบวินิจฉัย ซึ่งค่าพยากรณ์ของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับความชุกของโรค บทความนี้เป็นข้อมูลอ้างอิงเชิงระเบียบวิธี ไม่ใช่คำแนะนำทางคลินิกเกี่ยวกับการสั่งหรือการดำเนินการกับการทดสอบเฉพาะเจาะจง

Core questions

• การทราบเหตุการณ์หนึ่งเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งอย่างไร?
• เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันเมื่อใด และนั่นหมายความว่าอย่างไร?
• ทฤษฎีบทของเบย์สกลับความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขได้อย่างไร?
• ทำไมผลการทดสอบที่เป็นบวกจึงมีความหมายแตกต่างกันในความชุกที่แตกต่างกัน?

Key concepts

• ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข
• กฎการคูณ
• ความเป็นอิสระทางสถิติ
• กฎความน่าจะเป็นรวม
• ทฤษฎีบทของเบย์ส
• ความน่าจะเป็นก่อนหน้าและภายหลัง
• ความชุกและค่าพยากรณ์
• ความไวและความจำเพาะ

Mechanisms

การกำหนดเงื่อนไขบนเหตุการณ์จำกัดความสนใจไปที่ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับเหตุการณ์นั้น ดังนั้นความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของ A เมื่อกำหนดให้ B จะปรับขนาดความน่าจะเป็นร่วมของ A และ B ด้วยความน่าจะเป็นของ B เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันเมื่อการกำหนดเงื่อนไขนี้ไม่ทำให้ความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลง ซึ่งเทียบเท่ากับการที่ความน่าจะเป็นร่วมของทั้งสองสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นชายขอบ กฎความน่าจะเป็นรวมสร้างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จากความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของเหตุการณ์นั้นข้ามการแบ่งส่วนของปริภูมิผลลัพธ์ และทฤษฎีบทของเบย์สจะกลับความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข โดยแสดงความน่าจะเป็นของสาเหตุเมื่อกำหนดให้ผลที่สังเกตได้ในรูปของความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขย้อนกลับและความน่าจะเป็นก่อนหน้า ในการทดสอบวินิจฉัย นี่คือเหตุผลที่ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยที่มีผลบวกเป็นโรคจริง (ค่าพยากรณ์) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความไวและความจำเพาะของการทดสอบเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความชุกก่อนหน้าด้วย

Clinical relevance

ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขและทฤษฎีบทของเบย์สอธิบายว่าผลการทดสอบปรับปรุงความน่าจะเป็นของโรคอย่างไร ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการทดสอบที่เหมือนกันจึงให้ค่าพยากรณ์ที่แตกต่างกันในสถานการณ์ที่มีความชุกสูงและต่ำ บทความนี้อธิบายเหตุผลดังกล่าวในฐานะระเบียบวิธีและไม่ใช่คำแนะนำสำหรับการจัดการผู้ป่วยแต่ละราย

History

แนวคิดของการปรับปรุงความน่าจะเป็นตามหลักฐานเกี่ยวข้องกับ Thomas Bayes ซึ่งบทความของเขาได้รับการเผยแพร่หลังมรณกรรมโดย Richard Price ในปี 1763 และได้รับการขยายความโดย Laplace ทฤษฎีบทของเบย์สที่เกิดขึ้นกลายเป็นหัวใจสำคัญของสถิติ และในศตวรรษที่ยี่สิบ ได้กลายเป็นหัวใจสำคัญของการประเมินการทดสอบวินิจฉัยอย่างเป็นทางการ ซึ่งเชื่อมโยงความไว ความจำเพาะ และความชุกเข้ากับค่าพยากรณ์

Key figures

• Thomas Bayes
• Richard Price
• Pierre-Simon Laplace

Seminal works

• bayes-1763
• altman-bland-1994-diagnostic
• ross-2014

Frequently asked questions

ความแตกต่างระหว่างความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขและความน่าจะเป็นร่วมคืออะไร?

ความน่าจะเป็นร่วมคือโอกาสที่เหตุการณ์สองเหตุการณ์จะเกิดขึ้นพร้อมกัน ในขณะที่ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขคือโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อกำหนดให้อีกเหตุการณ์หนึ่งได้เกิดขึ้นแล้ว; ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขเท่ากับความน่าจะเป็นร่วมหารด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเงื่อนไข

ทำไมผลการทดสอบวินิจฉัยที่เป็นบวกยังอาจหมายความว่าไม่น่าจะเป็นโรค?

ตามทฤษฎีบทของเบย์ส โอกาสของการเกิดโรคหลังจากผลบวกขึ้นอยู่กับความชุก; เมื่อโรคหายาก แม้แต่การทดสอบที่แม่นยำก็ยังให้ผลบวกปลอมจำนวนมากเมื่อเทียบกับผลบวกจริง ดังนั้นค่าพยากรณ์ของผลบวกจึงอาจต่ำได้