Вероятностные пространства и события

Вероятностное пространство — это тройка, состоящая из пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятностной меры, приписывающей каждому событию число от нуля до единицы, и оно является основой всей теории вероятностей.

Definition

Вероятностное пространство — это тройка, состоящая из пространства элементарных исходов, сигма-алгебры измеримых подмножеств, называемых событиями, и счётно-аддитивной вероятностной меры общей массой единица, которая приписывает каждому событию его вероятность.

Scope

Тема охватывает пространство элементарных исходов и сигма-алгебру событий, аксиомы, которым должна удовлетворять вероятностная мера, непрерывность вероятности вдоль возрастающих и убывающих последовательностей событий, построение мер из функций множеств с помощью расширения Каратеодори и стандартные конструкции, такие как мера Лебега на единичном интервале как каноническое вероятностное пространство.

Core questions

• В чём разница между элементарным исходом и событием, и почему события должны образовывать сигма-алгебру?
• Какие свойства определяют вероятностную меру и как они обеспечивают непрерывность снизу и сверху?
• Как строится вероятностная мера из описания вероятностей на простых множествах?
• Какое каноническое вероятностное пространство лежит в основе таких знакомых моделей, как равномерное случайное число на единичном интервале?

Key concepts

• пространство элементарных исходов и элементарные исходы
• сигма-алгебра событий
• счётная аддитивность
• непрерывность вероятности
• нулевые события и свойства «почти наверное»

Key theories

Аксиомы вероятностной меры

Вероятностная мера неотрицательна, приписывает всему пространству элементарных исходов вероятность единица и счётно аддитивна для непересекающихся событий; эти аксиомы подразумевают монотонность, формулу включения-исключения и непрерывность вдоль монотонных последовательностей событий.

Теорема Каратеодори о продолжении меры

Счётно-аддитивная функция множества, определённая на алгебре, однозначно продолжается до меры на порождённой сигма-алгебре, что позволяет задавать вероятностную меру на простых событиях, а затем распространять её на все измеримые события.

Clinical relevance

Формализм вероятностного пространства делает утверждения о случайных явлениях однозначными; каждая прикладная вероятностная модель, от систем массового обслуживания до статистического вывода и моделирования рисков, неявно является утверждением о вероятностном пространстве и определённых на нём событиях.

History

Хотя неформальные вероятности вычислялись на протяжении веков, точное понятие вероятностного пространства восходит к аксиоматизации Колмогорова 1933 года, которая заимствовала аппарат расширения Каратеодори из теории меры, чтобы придать событиям и их вероятностям строгую основу.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Constantin Caratheodory
• Emile Borel

Seminal works

• kolmogorov1933

Frequently asked questions

Почему бы просто не приписывать вероятности каждому подмножеству пространства элементарных исходов?

Для несчётных пространств элементарных исходов невозможно определить согласованную счётно-аддитивную вероятность на всех подмножествах, поэтому вероятности ограничиваются сигма-алгеброй измеримых событий, которая всё ещё содержит каждое событие, представляющее практический интерес.

Что означает «почти наверное»?

Событие происходит «почти наверное», если вероятность его дополнения равна нулю; такие нулевые события можно игнорировать при вычислении вероятностей и математических ожиданий, хотя они и не являются буквально невозможными.