Основы теории вероятностей

Основы теории вероятностей — это базовые правила, которые определяют, как объединяются вероятности событий и как описываются случайные величины. Они определяют, что такое вероятность, как складывать и умножать вероятности событий, а также как суммировать случайную величину по ее распределению, математическому ожиданию и дисперсии — это строительные блоки, на которых основывается каждый последующий статистический метод.

Definition

Вероятность — это число от 0 до 1, присваиваемое событию для выражения его шансов на наступление, подчиняющееся аксиомам неотрицательности, полной вероятности, равной единице для всего пространства элементарных исходов, и аддитивности для взаимоисключающих событий.

Scope

Статья охватывает пространство элементарных исходов, события, аксиомы вероятности, правила сложения и умножения, дополнительные события, а также концепцию случайной величины с ее математическим ожиданием и дисперсией. В ней вводится различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Она рассматривает вероятность как методологическую основу и не дает клинических рекомендаций.

Core questions

• Что такое пространство элементарных исходов и что считается событием?
• Как складываются или умножаются вероятности объединенных событий?
• Что такое случайная величина и как суммируется ее распределение?
• Как определяются и интерпретируются математическое ожидание и дисперсия?

Key concepts

• Пространство элементарных исходов
• Событие
• Аксиомы вероятности
• Правило сложения
• Правило умножения
• Дополнительное событие
• Случайная величина
• Математическое ожидание (среднее)
• Дисперсия и стандартное отклонение

Mechanisms

Пространство элементарных исходов перечисляет все возможные исходы случайного процесса, а событие является его подмножеством. Аксиомы Колмогорова требуют, чтобы каждое событие имело неотрицательную вероятность, чтобы все пространство элементарных исходов имело вероятность, равную единице, и чтобы вероятность объединения взаимоисключающих событий была суммой их вероятностей. Из этого следуют правило дополнения (вероятность ненаступления события равна единице минус его вероятность), общее правило сложения для объединения двух событий и правило умножения для совместного наступления. Случайная величина присваивает число каждому исходу; ее математическое ожидание — это средневзвешенное по вероятности этих чисел, а ее дисперсия измеряет их разброс вокруг математического ожидания. Эти определения применимы к дискретным переменным, значения которых могут быть перечислены, и непрерывным переменным, описываемым плотностью.

Clinical relevance

Правила вероятности определяют, как объединяются неопределенности относительно диагнозов, рисков и результатов тестов, поэтому рабочее понимание их поддерживает интерпретацию количественных данных в науках о здоровье. Эта статья является методологической основой и не направляет индивидуальные клинические решения.

History

Ранняя теория вероятностей возникла из переписки XVII века об азартных играх и была систематизирована Бернулли и Лапласом. Современная аксиоматическая основа, которая определяет вероятность как меру на пространстве элементарных исходов, была изложена Андреем Колмогоровым в 1933 году, объединив эту область и предоставив строгую базу, используемую в статистике сегодня.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Pierre-Simon Laplace
• Jacob Bernoulli

Seminal works

• kolmogorov-1956
• ross-2014
• rosner-2015

Frequently asked questions

Что значит, что два события являются взаимоисключающими?

Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно; для таких событий вероятность того, что произойдет любое из них, просто равна сумме их индивидуальных вероятностей.

В чем разница между математическим ожиданием и дисперсией?

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины в долгосрочной перспективе, в то время как дисперсия измеряет, насколько широко ее значения разбросаны вокруг этого среднего; квадратный корень из дисперсии — это стандартное отклонение.