Случайные величины и функции распределения

Случайная величина — это измеримое отображение из вероятностного пространства в вещественную прямую, а ее функция распределения, представляющая собой вероятность того, что переменная не превышает заданный уровень, является универсальным способом описания того, как распределены ее значения.

Definition

Случайная величина — это измеримая функция из вероятностного пространства в множество действительных чисел, а ее функция распределения отображает каждое действительное число в вероятность того, что переменная принимает значение, меньшее или равное ему.

Scope

Тема охватывает измеримость вещественных и векторных случайных величин, кумулятивную функцию распределения и ее определяющие свойства монотонности, непрерывности справа и пределов, соответствие между функциями распределения и вероятностными мерами на прямой, плотности и разложение Лебега на дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные части, а также совместные распределения случайных векторов с их маргинальными распределениями.

Core questions

• Что означает для функции на пространстве элементарных исходов быть случайной величиной?
• Какие свойства характеризуют кумулятивную функцию распределения и как она определяет распределение?
• Когда распределение имеет плотность, и каковы альтернативы?
• Как связаны совместные и маргинальные распределения нескольких случайных величин?

Key concepts

• измеримая функция
• кумулятивная функция распределения
• плотность вероятности
• разложение Лебега
• совместные и маргинальные распределения

Key theories

Соответствие функции распределения

Каждая вероятностная мера на вещественной прямой соответствует уникальной неубывающей, непрерывной справа функции распределения с пределами ноль и один, и наоборот, что дает полное и конкретное описание одномерных распределений.

Разложение Лебега распределения

Любое распределение на прямой однозначно распадается на дискретную часть, сосредоточенную на атомах, абсолютно непрерывную часть с плотностью и сингулярную непрерывную часть, что проясняет, когда существует плотность вероятности, а когда нет.

Clinical relevance

Функции распределения — это то, что оценивают эмпирические данные и что постулируют статистические модели; эмпирическая функция распределения лежит в основе проверки согласия и бутстрепа, квантили, полученные из функции распределения, определяют риск и референтные диапазоны, а плотности являются объектами, подгоняемыми в большинстве выводов, основанных на правдоподобии.

History

Признание того, что случайная величина является просто измеримой функцией и что ее поведение описывается функцией распределения, возникло с теоретико-мерной переформулировкой вероятности в начале двадцатого века, заменив более раннее рассмотрение конкретных распределений в каждом отдельном случае.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Каждая ли случайная величина имеет плотность?

Нет; только случайные величины, распределение которых абсолютно непрерывно, имеют плотность. Дискретные переменные сосредоточивают массу в отдельных точках, а более редкие сингулярные непрерывные распределения не имеют плотности, хотя и не имеют атомов.

Почему функция распределения определяется как «меньше или равно», а не «строго меньше»?

Соглашение «меньше или равно» делает функцию распределения непрерывной справа, что является естественным выбором, обеспечивающим четкое соответствие с базовой вероятностной мерой и ее атомами.