Пуассоновские и точечные процессы

Точечный процесс — это случайное рассеяние точек во времени или пространстве; пуассоновский процесс, в котором непересекающиеся области содержат независимые пуассоновские распределения отсчетов, является его фундаментальным примером.

Definition

Точечный процесс — это случайная мера, которая размещает дискретный набор точек в пространстве, а пуассоновский процесс — это точечный процесс, в котором число точек в любой области распределено по Пуассону со средним значением, заданным мерой интенсивности, и отсчеты в непересекающихся областях независимы.

Scope

Эта область охватывает однородный пуассоновский процесс и его характеристики через независимые экспоненциальные интервалы между событиями и независимые приращения, неоднородные и составные пуассоновские процессы, общую теорию точечных процессов как случайных счетных мер, интенсивность и метки, операции, такие как суперпозиция, прореживание и отображение, а также пространственные точечные паттерны.

Sub-topics

• Homogeneous Poisson Process
• Inhomogeneous and Compound Poisson Processes
• Spatial Point Processes

Core questions

• Что определяет пуассоновский процесс и какие эквивалентные характеристики его описывают?
• Как возникают независимые приращения и экспоненциальные интервалы между событиями?
• Как точечные процессы формализуются как случайные счетные меры?
• Как прореживание, суперпозиция и отображение преобразуют пуассоновские процессы?

Key theories

Характеристики пуассоновского процесса

Однородный пуассоновский процесс эквивалентно описывается пуассоновскими отсчетами с независимыми приращениями, независимыми и одинаково распределенными экспоненциальными интервалами между событиями, а также как уникальный простой точечный процесс со стационарными независимыми приращениями и без фиксированных атомов.

Теоремы отображения, прореживания и суперпозиции

Независимое смещение, случайное удаление или слияние точек пуассоновских процессов снова приводит к пуассоновским процессам с преобразованными мерами интенсивности, что является свойством устойчивости, делающим пуассоновский процесс канонической моделью для полностью случайных точек.

Clinical relevance

Точечные процессы моделируют прибытие клиентов, телефонные звонки, радиоактивные распады, страховые претензии, нейронные спайки и пространственное расположение деревьев, галактик или случаев заболеваний; пуассоновский процесс служит базовой моделью полной пространственной случайности, относительно которой оценивается кластеризация или регулярность.

History

Распределение Пуассона возникло в работе Пуассона 1837 года о судебных решениях, процесс использовался Эрлангом с 1909 года для моделирования телефонного трафика и Бейтманом и Резерфордом для радиоактивного распада, а современная теоретико-мерная теория точечных процессов была консолидирована в конце двадцатого века Кингманом, Дейли и Вере-Джонсом.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Что такое пуассоновский процесс?

Это модель для точек, полностью случайно рассеянных во времени или пространстве, в которой число точек в любой области подчиняется распределению Пуассона, а отсчеты в непересекающихся областях независимы.

Почему пуассоновский процесс так широко используется?

Это естественная модель полной случайности, она сохраняется при прореживании, суперпозиции и отображении, и возникает как предел, когда накапливается множество редких независимых событий, что делает ее гибкой и податливой базовой моделью.