Теория обновления

Теория обновления изучает процессы, которые возобновляются заново при каждом наступлении события, где времена между последовательными событиями являются независимыми и одинаково распределенными.

Definition

Процесс обновления — это счетный процесс, межсобытийные интервалы которого являются независимыми и одинаково распределенными положительными случайными величинами, а теория обновления анализирует результирующую функцию обновления, ее асимптотики и предельное поведение связанных величин, таких как возраст и остаточный срок службы.

Scope

Эта тема охватывает процесс обновления и функцию обновления, уравнение обновления и его решение, элементарную теорему обновления, дающую долгосрочную скорость обновления, ключевую теорему обновления и теорему Блэквелла об асимптотических приращениях, парадокс инспекции и распределение возраста и остаточного срока службы, а также задержанные и стационарные процессы обновления.

Core questions

• Как определяется и вычисляется функция обновления из распределения межсобытийных интервалов?
• Какова долгосрочная скорость обновлений?
• Что асимптотически описывают ключевая теорема обновления и теорема Блэквелла?
• Почему парадокс инспекции делает типичный наблюдаемый интервал длиннее среднего?

Key theories

Элементарная и ключевая теоремы обновления

Долгосрочная скорость обновления равна величине, обратной среднему времени между событиями, а ключевая теорема обновления дает предельное значение свертки функции с плотностью обновления, обеспечивая асимптотики широкого класса уравнений обновления.

Возраст, остаточный срок службы и парадокс инспекции

Интервал, охватывающий фиксированное время наблюдения, стохастически длиннее типичного межсобытийного интервала, потому что более длинные интервалы с большей вероятностью будут выбраны, а предельные распределения возраста и остаточного срока службы следуют из равновесной плотности обновления.

Clinical relevance

Теория обновления моделирует замену компонентов в инженерии надежности, повторение событий в анализе технического обслуживания и гарантии, а также долгосрочные затраты на эксплуатацию систем со случайным временем отказа, и она обеспечивает асимптотическую основу для моделей очередей и запасов.

History

Теория обновления возникла из проблем замещения населения и промышленного замещения в 1930-х и 1940-х годах, когда Феллер и Смит установили уравнение обновления и его асимптотики, Блэквелл доказал свою теорему обновления в 1948 году, а монография Кокса 1962 года дала предмету его стандартное изложение.

Key figures

• William Feller
• David Blackwell
• David Cox
• Walter Smith

Seminal works

• coxRenewal1962

Frequently asked questions

Что такое процесс обновления?

Это процесс, который подсчитывает события, межсобытийные интервалы которых являются независимыми и одинаково распределенными; пуассоновский процесс является частным случаем, когда эти времена экспоненциальны.

Что такое парадокс инспекции?

Если вы наблюдаете процесс обновления в фиксированный момент времени, интервал, содержащий этот момент, как правило, длиннее случайно выбранного интервала, потому что более длинные интервалы с большей вероятностью будут тем, в который вы попадете.