Однородный пуассоновский процесс

Однородный пуассоновский процесс подсчитывает события, происходящие с постоянной средней интенсивностью, при этом число событий в любом интервале распределено по Пуассону, а подсчеты в непересекающихся интервалах независимы.

Definition

Однородный пуассоновский процесс с интенсивностью лямбда — это счетный процесс, начинающийся с нуля, с независимыми стационарными приращениями, в котором число событий в интервале длины t распределено по Пуассону со средним значением лямбда, умноженным на t; эквивалентно, это процесс, интервалы между событиями которого являются независимыми экспоненциальными случайными величинами с интенсивностью лямбда.

Scope

Эта тема охватывает параметр интенсивности, пуассоновское распределение числа событий, независимые и стационарные приращения, экспоненциальное распределение интервалов между событиями и гамма-распределение времен наступления событий, свойство порядковых статистик времен событий при условии их числа, а также свойство отсутствия памяти, лежащее в основе этих результатов.

Core questions

• Как определяется однородный пуассоновский процесс и как он параметризуется своей интенсивностью?
• Почему интервалы между событиями являются экспоненциальными и независимыми?
• Как распределены времена наступления событий при заданном числе событий?
• Какова роль свойства отсутствия памяти?

Key theories

Эквивалентность описаний через подсчет и интервалы между событиями

Счетный процесс имеет пуассоновские приращения со стационарными независимыми приращениями тогда и только тогда, когда его последовательные интервалы между событиями являются независимыми экспоненциальными величинами с одинаковой интенсивностью, так что процесс может быть построен либо путем подсчета, либо путем суммирования времен ожидания.

Свойство порядковых статистик

При условии числа событий в интервале, времена событий распределены как порядковые статистики независимых равномерных точек в этом интервале, что упрощает многие условные вычисления и симуляции.

Clinical relevance

Однородный пуассоновский процесс является стандартной моделью для поступлений в очередях, подсчета радиоактивных распадов, обнаружения фотонов и редких событий, а также служит механизмом поступления в элементарных очередях M/M/1 и M/G/1 и нулевой моделью случайности в данных о времени событий.

History

Анализ редких событий Борткевича в 1898 году и исследование Эрланга телефонного трафика в 1909 году эмпирически установили пуассоновский процесс, в то время как подсчеты альфа-частиц Резерфордом и Гейгером в 1910 году дали классическое физическое подтверждение; строгая теория последовала из общего изучения процессов с независимыми приращениями.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Почему интервалы между событиями в пуассоновском процессе являются экспоненциальными?

Независимость и стационарность приращений вынуждают время ожидания до следующего события быть не зависящим от предыстории (memoryless), а единственным непрерывным распределением без памяти является экспоненциальное, с интенсивностью, равной интенсивности процесса.

Что означает параметр интенсивности?

Интенсивность лямбда — это среднее число событий в единицу времени; ожидаемое число событий в интервале равно лямбда, умноженной на его длину, а среднее время между событиями равно единице, деленной на лямбда.