Неоднородные и составные пуассоновские процессы

Обобщая пуассоновский процесс, неоднородная версия позволяет скорости событий изменяться во времени или пространстве, в то время как составная версия приписывает независимые случайные величины каждому событию.

Definition

Неоднородный пуассоновский процесс — это счетный процесс с независимыми приращениями, число событий которого в области распределено по Пуассону со средним значением, заданным интегралом неконстантной интенсивности, а составной пуассоновский процесс — это сумма независимых одинаково распределенных случайных скачков, происходящих в моменты событий пуассоновского процесса.

Scope

Эта тема охватывает неоднородный пуассоновский процесс, определяемый изменяющейся функцией интенсивности и кумулятивной средней мерой, изменение времени, которое отображает его в стандартный пуассоновский процесс, составной пуассоновский процесс, образованный суммированием независимых меток в моменты пуассоновских событий, его среднее значение, дисперсию и характеристическую функцию, а также применение к страховым рискам и дробовому шуму.

Core questions

• Как изменяющаяся функция интенсивности обобщает процесс с постоянной скоростью?
• Как неоднородный процесс может быть преобразован в однородный путем изменения времени?
• Как вычисляются среднее значение и дисперсия составной пуассоновской суммы?
• Как эти процессы моделируют страховые выплаты и дробовой шум?

Key theories

Изменение времени до стандартного Пуассона

Перемасштабирование времени с помощью кумулятивной функции интенсивности превращает неоднородный пуассоновский процесс в стандартный пуассоновский процесс с единичной скоростью, что как характеризует неоднородный процесс, так и предоставляет метод моделирования путем инверсии или прореживания.

Составное пуассоновское распределение

Сумма пуассоновски распределенного числа независимых скачков имеет среднее значение и дисперсию, выражаемые через распределение скачков, а ее характеристическая функция является экспонентой скорости, умноженной на характеристическую функцию скачка минус единица, что связывает ее с бесконечно делимыми законами.

Clinical relevance

Неоднородные пуассоновские процессы моделируют изменяющиеся во времени скорости прибытия, такие как ежедневный трафик или сезонная заболеваемость, в то время как составные пуассоновские процессы являются классической моделью совокупных страховых выплат в теории риска Крамера-Лундберга и дробового шума в физике и обработке сигналов.

History

Лундберг представил составную пуассоновскую модель риска в 1903 году, а Крамер разработал ее теорию разорения в 1930-х годах, в то время как неоднородные пуассоновские процессы и их моделирование на основе прореживания, формализованное Льюисом и Шедлером в 1979 году, стали стандартными инструментами для моделирования изменяющихся во времени скоростей событий.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

В чем разница между неоднородными и составными пуассоновскими процессами?

Неоднородный процесс сохраняет единичные скачки, но позволяет скорости событий изменяться во времени или пространстве, тогда как составной процесс сохраняет пуассоновское число событий, но придает каждому случайный размер.

Как составной пуассоновский процесс используется в страховании?

Он моделирует общие выплаты как пуассоновское число независимых сумм требований; полученный агрегат является основой классической теории разорения, которая изучает вероятность того, что накопленные требования превысят резервы.