Квадратура Гаусса

Квадратура Гаусса выбирает как узлы, так и веса квадратурной формулы для максимизации её алгебраической степени точности, точно интегрируя полиномы степени 2n-1 всего за n вычислений функции.

Definition

Квадратура Гаусса — это семейство квадратурных формул, узлы которых являются корнями ортогональных полиномов, связанных с весовой функцией, выбранных вместе с их весами для достижения максимально возможной степени точности для заданного числа узлов.

Scope

Эта тема охватывает построение гауссовых формул из корней ортогональных полиномов, формулу Гаусса-Лежандра и взвешенные варианты (Гаусса-Чебышева, Гаусса-Эрмита, Гаусса-Лагерра), алгоритм собственных значений Голуба-Велша для вычисления узлов и весов, а также расширения Гаусса-Кронрода, используемые для практической оценки погрешности.

Core questions

• Как размещение узлов в корнях ортогональных полиномов удваивает степень точности по сравнению с формулами с фиксированными узлами?
• Как точно вычисляются узлы и веса для заданной весовой функции?
• Как взвешенные гауссовы формулы обрабатывают интегралы с сингулярными или определёнными на бесконечной области весовыми функциями?
• Как получаются надёжные оценки погрешности, например, с помощью пар Гаусса-Кронрода?

Key theories

Максимальная степень точности

n-точечная квадратурная формула может быть точной для полиномов до степени 2n-1, и этот максимум достигается именно тогда, когда узлы являются корнями ортогонального полинома степени n для весовой функции, при этом все веса положительны.

Алгоритм Голуба-Велша

Узлы и веса гауссовой формулы получаются как собственные значения и квадраты первых компонент собственных векторов симметричной трёхдиагональной матрицы Якоби, образованной из коэффициентов рекуррентного соотношения ортогональных полиномов, превращая построение квадратуры в вычисление собственных значений.

Mechanisms

Ортогональные полиномы удовлетворяют трёхчленному рекуррентному соотношению, коэффициенты которого заполняют симметричную трёхдиагональную матрицу Якоби; алгоритм Голуба-Велша вычисляет её собственные значения (узлы квадратуры) и использует первые компоненты собственных векторов для восстановления весов, причём всё это стабильно. Изменение весовой функции — на функцию со встроенными особенностями или определённую на полупрямой или всей прямой — даёт формулы Гаусса-Чебышева, Гаусса-Лагерра или Гаусса-Эрмита, которые аналитически поглощают сложное поведение. Формулы Гаусса-Кронрода повторно используют узлы Гаусса и добавляют перемежающиеся узлы, так что оценка более высокого порядка, а следовательно, и оценка погрешности, получается с небольшими дополнительными затратами.

Clinical relevance

Квадратура Гаусса является основным инструментом для вычисления интегралов элементов и жёсткости в конечно-элементном анализе, для вычисления моментов и математических ожиданий по вероятностным весовым функциям в статистике и количественной оценке неопределённости, а также для высокоточной оценки гладких интегралов в физике и инженерии, где минимизация числа дорогостоящих вычислений подынтегральной функции имеет первостепенное значение.

History

Гаусс вывел свою оптимальную квадратуру в 1814 году; Якоби связал её с ортогональными полиномами, а современная вычислительная трактовка была установлена алгоритмом Голуба-Велша 1969 года, который сделал узлы и веса рутинно вычисляемыми и ввёл гауссовы формулы в стандартные численные библиотеки.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

Как n точек могут точно интегрировать полином степени 2n-1?

Поскольку как n узлов, так и n весов являются свободными параметрами, существует 2n степеней свободы, достаточных для соответствия интегралам 2n базисных полиномов (степеней от 0 до 2n-1). Размещение узлов в корнях ортогональных полиномов достигает именно этого.

Как на практике проверяется точность гауссовой формулы?

Распространённым подходом является пара Гаусса-Кронрода, которая дополняет формулу Гаусса дополнительными узлами для получения оценки более высокого порядка; разница между двумя оценками служит практической оценкой погрешности, используемой адаптивными интеграторами.