Квадратура Ньютона-Котеса

Правила Ньютона-Котеса аппроксимируют интеграл путем интегрирования полинома, который интерполирует подынтегральную функцию в равноотстоящих точках, давая известные формулы, такие как правила трапеций и Симпсона.

Definition

Правило квадратуры Ньютона-Котеса — это интерполяционное правило квадратуры, узлы которого равномерно распределены по интервалу интегрирования, а веса получены путем интегрирования соответствующего интерполяционного полинома.

Scope

Эта тема охватывает замкнутые и открытые формулы Ньютона-Котеса, их степени точности и члены погрешности, составные правила трапеций и Симпсона, полученные путем разбиения интервала, интегрирование Ромберга с помощью экстраполяции Ричардсона, а также нестабильность правил Ньютона-Котеса высокого порядка, которая ограничивает их практическую применимость.

Core questions

• Как выводятся правила трапеций и Симпсона как интегрированные интерполянты?
• Каковы члены погрешности этих правил и почему правило Симпсона получает дополнительный порядок из-за симметрии?
• Как составные правила и экстраполяция Ромберга систематически улучшают точность?
• Почему правила Ньютона-Котеса высокого порядка становятся нестабильными и что ограничивает их использование?

Key theories

Степень точности и члены погрешности

Правило трапеций точно для линейных подынтегральных функций с погрешностью, пропорциональной второй производной, в то время как правило Симпсона, благодаря симметрии, точно для кубических функций с погрешностью, пропорциональной четвертой производной, получая порядок выше своей степени интерполяции.

Составные правила и интегрирование Ромберга

Применение базового правила на многих подынтервалах дает составное правило, погрешность которого уменьшается полиномиально по размеру шага; экстраполяция Ричардсона составного правила трапеций приводит к быстро сходящейся схеме Ромберга.

Mechanisms

Каждое базовое правило точно интегрирует равноотстоящий интерполянт: правило трапеций интегрирует линейную аппроксимацию, правило Симпсона — параболу. Составные правила разбивают интервал и суммируют базовые правила на каждом участке, так что уменьшение шага вдвое предсказуемо уменьшает ошибку. Интегрирование Ромберга табулирует составные оценки трапеций при последовательно уменьшающихся вдвое размерах шага и применяет повторную экстраполяцию Ричардсона, сокращая ведущие члены погрешности для достижения высокой точности для гладких подынтегральных функций. Правила Ньютона-Котеса высокого порядка для одного интервала приобретают большие осциллирующие веса смешанного знака, что отражает феномен Рунге, который вызывает сокращение и нестабильность.

Clinical relevance

Правила Ньютона-Котеса, особенно составные формы трапеций и Симпсона, являются стандартными недорогими инструментами квадратуры, когда выборки подынтегральной функции естественным образом равноудалены — например, табулированные экспериментальные данные, интегрирование временных рядов и простая постобработка моделирования — а интегрирование Ромберга обеспечивает точные результаты для гладких функций с минимальным кодированием.

History

Эти правила возникли у Ньютона и Котеса в начале XVIII века и у Томаса Симпсона, чье правило носит его имя; схема экстраполяции Вернера Ромберга 1955 года превратила элементарное правило трапеций в высокоточный метод и остается стандартным учебным и вычислительным инструментом.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

Почему правило Симпсона точнее правила трапеций?

Правило Симпсона аппроксимирует параболой через три точки, а не прямой через две, и благодаря симметрии оно точно интегрирует кубические полиномы, поэтому его погрешность зависит от четвертой производной и уменьшается гораздо быстрее при уменьшении размера шага.

Почему бы просто не использовать правило Ньютона-Котеса очень высокого порядка?

Правила Ньютона-Котеса высокого порядка на равноотстоящих узлах имеют большие веса с чередующимися знаками, что вызывает численное сокращение и нестабильность. На практике вместо этого используются составные правила низкого порядка, экстраполяция Ромберга или квадратура Гаусса.