Численное интегрирование
Численное интегрирование, или квадратура, аппроксимирует определённые интегралы взвешенными суммами значений функций, обеспечивая точные значения, когда первообразная недоступна или подынтегральная функция известна только в дискретных точках.
Definition
Численное интегрирование — это аппроксимация определённого интеграла конечной взвешенной комбинацией значений подынтегральной функции, называемой квадратурным правилом, вместе с анализом её точности.
Scope
Эта область охватывает интерполяционные квадратурные правила, построенные путём интегрирования полиномиальных интерполянтов (Ньютон-Котес), гауссовы правила оптимальной степени, основанные на ортогональных полиномах, составные и адаптивные схемы, автоматически контролирующие ошибку, а также анализ ошибок, определяющий точность и сходимость; многомерное интегрирование рассматривается как расширение этих одномерных основ.
Sub-topics
Core questions
- Как строятся квадратурные правила из полиномиальной интерполяции и что определяет их точность?
- Какова степень точности правила и как гауссовы правила максимизируют её для заданного числа точек?
- Как составные и адаптивные стратегии контролируют ошибку на интервале?
- Как гладкость подынтегральной функции влияет на скорость сходимости квадратурного правила?
Key theories
- Интерполяционная квадратура
- Интегрирование полинома, интерполирующего подынтегральную функцию в выбранных узлах, даёт квадратурное правило, веса которого являются интегралами базисных функций Лагранжа; правило точно для всех полиномов до степени интерполяции.
- Гауссова квадратура и ортогональные полиномы
- Выбор узлов в качестве корней ортогональных полиномов даёт n-точечное правило, точное для полиномов до степени 2n-1, что является максимально возможным, связывая оптимальную квадратуру с теорией ортогональных полиномов.
- Адаптивный контроль ошибок
- Сравнение оценок, полученных с помощью правил разных порядков или из уточнённых подразделений, даёт оценку ошибки, которая управляет автоматическим подразделением, концентрируя усилия там, где подынтегральная функция быстро меняется.
Clinical relevance
Квадратура требуется везде, где интегралы не могут быть вычислены в замкнутой форме: при вычислении математических ожиданий и нормирующих констант в теории вероятностей и статистике, при оценке элементных интегралов в методах конечных элементов, при суммировании радиационных и силовых вкладов в физических симуляциях и при ценообразовании финансовых инструментов в вычислительных финансах; выбор правила представляет собой компромисс между точностью и количеством (часто дорогостоящих) вычислений подынтегральной функции.
History
Классические интерполяционные правила восходят к Ньютону и Котесу, в то время как Гаусс представил свою квадратуру оптимальной степени в 1814 году; компьютерная эра добавила автоматические адаптивные алгоритмы и высококачественные программные библиотеки, а также возобновила внимание к обусловленности и устойчивости квадратуры для сложных подынтегральных функций.
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- Когда требуется численное интегрирование вместо нахождения первообразной?
- Многие подынтегральные функции не имеют первообразной, выражаемой в элементарных функциях, а на практике подынтегральная функция может быть доступна только в виде данных или как результат симуляции. В обоих случаях квадратурное правило оценивает интеграл непосредственно по значениям функции.
- Почему гауссова квадратура так эффективна?
- Оптимально размещая как узлы, так и веса, n-точечное гауссово правило точно интегрирует полиномы до степени 2n-1 — вдвое больше степени правила Ньютона-Котеса с тем же числом точек — таким образом, оно достигает высокой точности при небольшом количестве вычислений функции для гладких подынтегральных функций.