Aproximação WKB

A aproximação WKB é um método semiclássico para resolver a equação de Schrödinger quando o potencial varia lentamente; ela constrói a função de onda a partir de um comprimento de onda definido localmente e fornece a condição de quantização de Bohr-Sommerfeld e estimativas de tunelamento exponencial.

Definition

A aproximação WKB é uma técnica semiclássica para aproximar soluções da equação de Schrödinger quando o potencial varia pouco ao longo de um comprimento de onda de de Broglie, representando a função de onda como uma exponencial de uma fase que varia lentamente, cujo termo principal é a ação clássica.

Scope

O tópico abrange a expansão semiclássica da função de onda em potências do quantum de ação, o comprimento de onda local e a amplitude em regiões classicamente permitidas, o crescimento e decaimento exponenciais em regiões proibidas, as fórmulas de conexão que unem soluções através de pontos de viragem, a condição de quantização de Bohr-Sommerfeld para estados ligados e a estimativa exponencial WKB para probabilidades de tunelamento.

Core questions

• Quando um potencial varia lentamente o suficiente para que a aproximação WKB seja válida?
• Como a função de onda se comporta em regiões classicamente permitidas versus proibidas?
• Quais fórmulas de conexão unem as soluções através dos pontos de viragem clássicos?
• Como a WKB reproduz a condição de quantização de Bohr-Sommerfeld e as taxas de tunelamento?

Key concepts

• expansão semiclássica
• comprimento de onda local
• pontos de viragem
• fórmulas de conexão
• quantização de Bohr-Sommerfeld
• expoente de tunelamento

Key theories

Função de onda semiclássica

Em um potencial que varia lentamente, a função de onda oscila com um comprimento de onda local definido pelo momento clássico e uma amplitude que cresce onde a partícula se move lentamente, enquanto em regiões proibidas ela cresce ou decai exponencialmente, a forma subjacente tanto à quantização quanto ao tunelamento.

Quantização de Bohr-Sommerfeld

Exigir que a fase WKB acumulada entre os pontos de viragem seja um múltiplo semi-inteiro do quantum de ação reproduz a antiga condição de quantização de Bohr-Sommerfeld, fornecendo níveis de energia precisos para potenciais suaves e grandes números quânticos.

Clinical relevance

O método WKB fornece estimativas rápidas e fisicamente transparentes em toda a física: ele fornece as vidas médias do decaimento alfa nuclear através de seu expoente de tunelamento, correntes de emissão de campo e de tunelamento por varredura, níveis vibracionais de moléculas e a quantização semiclássica que faz a ponte entre as descrições clássica e quântica.

History

Wentzel, Kramers e Brillouin introduziram a aproximação em 1926, baseando-se em um tratamento matemático anterior de Jeffreys; ela conectou a nova mecânica ondulatória à antiga quantização de Bohr-Sommerfeld e foi logo aplicada por Gamow ao tunelamento no decaimento alfa.

Key figures

• Gregor Wentzel
• Hendrik Kramers
• Leon Brillouin
• Harold Jeffreys

Seminal works

• landau1977
• griffiths2018

Frequently asked questions

Quando a aproximação WKB é precisa?

É precisa quando o potencial varia pouco ao longo de um comprimento de onda de de Broglie, o que geralmente significa altas energias ou grandes números quânticos; ela se torna não confiável perto de pontos de viragem clássicos, onde fórmulas de conexão devem ser usadas para unir as soluções.

Como a WKB descreve o tunelamento?

Na região classicamente proibida, a função de onda WKB decai exponencialmente, e a probabilidade de tunelamento é aproximadamente a exponencial de menos duas vezes a integral da taxa de decaimento através da barreira, a estimativa semiclássica padrão usada para taxas de decaimento e emissão.