Equação de Schrodinger Dependente e Independente do Tempo

A equação de Schrodinger dependente do tempo descreve como uma função de onda evolui, e a separação da dependência temporal a reduz à equação independente do tempo, um problema de autovalor cujas soluções são os estados estacionários com energia definida.

Definition

A equação de Schrodinger dependente do tempo afirma que o Hamiltoniano gera a evolução temporal da função de onda, enquanto a equação de Schrodinger independente do tempo é a equação de autovalor resultante cujas soluções são os estados estacionários de energia definida.

Scope

O tópico abrange a equação de Schrodinger dependente do tempo e a conservação da probabilidade, a separação de variáveis para Hamiltonianos independentes do tempo, a equação independente do tempo como um problema de autovalor de energia, os estados estacionários e sua evolução de fase trivial, a expansão de um estado geral em autoestados de energia, e o propagador que avança qualquer estado no tempo.

Core questions

• Como o Hamiltoniano determina a evolução de qualquer estado quântico?
• Por que a separação do tempo do espaço resulta em um problema de autovalor de energia?
• O que há de especial nos estados estacionários sob a evolução temporal?
• Como é calculado o estado futuro de uma superposição arbitrária?

Key concepts

• operador Hamiltoniano
• estado estacionário
• autovalor de energia
• separação de variáveis
• conservação da probabilidade
• propagador

Key theories

Separação de variáveis

Quando o Hamiltoniano não possui dependência temporal explícita, soluções da forma função espacial vezes fase temporal reduzem a equação completa ao problema de autovalor independente do tempo, com cada autoestado de energia adquirindo apenas uma fase oscilante à medida que o tempo passa.

Expansão espectral e o propagador

Qualquer estado inicial pode ser escrito como uma superposição de autoestados de energia, cada um evoluindo por sua própria fase, de modo que a evolução temporal completa é capturada por um propagador construído a partir do espectro de energia que mapeia o estado em um determinado momento para qualquer momento posterior.

Clinical relevance

Este par de equações é o ponto de partida para quase todos os cálculos quânticos: os estados estacionários fornecem as linhas espectrais medidas na espectroscopia atômica e molecular, enquanto a forma dependente do tempo governa as transições, a dinâmica de pacotes de onda e o controle coerente de qubits na tecnologia quântica.

History

Schrodinger apresentou ambas as formas de sua equação em sua série de artigos de 1926, aplicando imediatamente a equação independente do tempo ao átomo de hidrogênio; Dirac e von Neumann mais tarde reformularam a evolução temporal na linguagem abstrata de operadores de propagadores unitários.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

Por que é chamado de estado estacionário se ainda evolui no tempo?

Um estado estacionário adquire apenas uma fase oscilante geral, que se cancela em qualquer probabilidade de medição ou valor esperado, de modo que todas as propriedades observáveis permanecem constantes no tempo, embora a própria função de onda continue a girar no plano complexo.

Quando a equação de Schrodinger independente do tempo pode ser usada?

Ela se aplica quando o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, permitindo a separação de variáveis; para potenciais variáveis no tempo, deve-se resolver a equação dependente do tempo completa ou usar a teoria de perturbação dependente do tempo.