Sigma-Álgebras e Medidas

Uma sigma-álgebra define quais conjuntos podem ser medidos, e uma medida atribui a cada um deles um tamanho consistente; juntos, eles formam o espaço mensurável sobre o qual toda a teoria da integração é construída.

Definition

Uma sigma-álgebra é uma coleção de subconjuntos fechada sob complementos e uniões contáveis, e uma medida é uma função de conjunto não negativa e contavelmente aditiva em uma sigma-álgebra; o par forma um espaço de medida que generaliza comprimento, área, volume e probabilidade.

Scope

Este tópico abrange sigma-álgebras e a sigma-álgebra de Borel gerada por conjuntos abertos, funções mensuráveis, os axiomas de uma medida com aditividade contável, medidas exteriores e a construção de Caratheodory, a construção da medida de Lebesgue, completude e conjuntos nulos, e continuidade de medidas ao longo de sequências monótonas.

Core questions

• Quais coleções de conjuntos podem suportar uma noção consistente de tamanho?
• Como a medida de Lebesgue no espaço euclidiano é construída a partir de uma medida exterior?
• O que a aditividade contável contribui que a aditividade finita não pode?
• Por que uma medida não pode ser definida em absolutamente todo subconjunto?

Key theories

Teorema de extensão de Caratheodory

Uma medida exterior se restringe a uma medida genuína contavelmente aditiva na sigma-álgebra de seus conjuntos mensuráveis, a construção que produz a medida de Lebesgue e medidas em espaços abstratos a partir de funções de conjunto mais simples.

Existência de conjuntos não mensuráveis

Assumindo o axioma da escolha, existem subconjuntos da reta real aos quais nenhuma medida contavelmente aditiva invariante por translação pode atribuir um tamanho, razão pela qual uma sigma-álgebra, e não todos os subconjuntos, é necessária.

Clinical relevance

Espaços de medida são o fundamento formal da teoria da probabilidade, onde a sigma-álgebra codifica os eventos observáveis e a medida é a distribuição de probabilidade; o mesmo arcabouço suporta a integração, o tratamento rigoroso da aleatoriedade em estatística e finanças, e a definição de espaços de funções em análise.

History

Borel introduziu a sigma-álgebra de conjuntos construída a partir de intervalos por volta de 1898, e Lebesgue definiu a medida na reta em 1902. O método da medida exterior de Caratheodory generalizou a construção para espaços abstratos, e o exemplo de Vitali de 1905 exibiu um conjunto não mensurável.

Key figures

• Constantin Caratheodory
• Emile Borel
• Henri Lebesgue

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Por que não medir simplesmente todo subconjunto da reta?

Usando o axioma da escolha, pode-se construir conjuntos, como os conjuntos de Vitali, aos quais não se pode atribuir um tamanho consistente com a invariância por translação e a aditividade contável, de modo que a medição é restrita a uma sigma-álgebra.

Qual é o papel da aditividade contável?

A aditividade contável, que a medida de uma união disjunta contável é a soma das medidas, é o que permite que as medidas interajam bem com limites e torna possíveis os teoremas de convergência da integração.