Integração de Lebesgue

A integral de Lebesgue define a integral de uma função mensurável aproximando-a com funções simples ponderadas por uma medida, resultando em uma integral que interage robustamente com limites.

Definition

A integração de Lebesgue define a integral de uma função mensurável não negativa como o supremo das integrais de funções simples abaixo dela, e estende isso para funções com sinal e complexas integrando partes positivas e negativas, produzindo uma integral definida em relação a qualquer medida.

Scope

Este tópico abrange funções simples e a integral de funções mensuráveis não negativas, a integral de funções gerais e com valores complexos, o teorema da convergência monótona, o lema de Fatou, o teorema da convergência dominada, afirmações quase-em-toda-parte e a comparação com a integral de Riemann.

Core questions

• Como a integral é construída a partir de funções simples e uma medida?
• Sob quais condições um limite pode ser movido para dentro de uma integral?
• O que significa para uma propriedade ser válida quase-em-toda-parte, e por que essa é a noção correta?
• Como a integração de Lebesgue se relaciona e estende a integral de Riemann?

Key theories

Teorema da convergência monótona e lema de Fatou

Para funções mensuráveis não negativas, a integral de um limite crescente é o limite das integrais, e em geral a integral de um liminf não excede o liminf das integrais, as ferramentas básicas para passar limites através de integrais.

Teorema da convergência dominada

Se as funções convergem quase-em-toda-parte e são limitadas em tamanho por uma função integrável fixa, o limite de suas integrais é igual à integral do limite, o teorema de intercâmbio mais usado da integração.

Clinical relevance

A integral de Lebesgue é a expectativa da teoria da probabilidade e a integral subjacente à análise de Fourier e funcional; seus teoremas de convergência justificam a troca de limites, somas e integrais em derivações em física, estatística e matemática aplicada, e tornam os espaços de funções Lp completos.

History

Lebesgue definiu sua integral em 1902, e os teoremas de convergência foram estabelecidos logo depois, com o lema de Fatou aparecendo em seu trabalho de 1906 sobre séries e o teorema da convergência monótona de Levi em 1906. Esses resultados deram à análise sua integral moderna, amigável aos limites.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

O que significa quase-em-toda-parte?

Uma afirmação é válida quase-em-toda-parte se o conjunto onde ela falha tem medida zero; a integral de Lebesgue não consegue detectar mudanças em tais conjuntos, então funções iguais quase-em-toda-parte têm a mesma integral.

Por que os teoremas de convergência são o principal benefício?

Os teoremas de convergência monótona e dominada permitem que os limites sejam movidos para dentro das integrais sob hipóteses brandas, o que é precisamente a flexibilidade que a integral de Riemann não possui e da qual a probabilidade e a análise dependem.