Espaços de Probabilidade e Eventos

Um espaço de probabilidade é o terno que consiste em um espaço amostral de resultados, uma sigma-álgebra de eventos e uma medida de probabilidade que atribui a cada evento um número entre zero e um, e é o palco onde toda a teoria da probabilidade se desenrola.

Definition

Um espaço de probabilidade é um terno que consiste em um espaço amostral, uma sigma-álgebra de subconjuntos mensuráveis chamados eventos, e uma medida de probabilidade aditiva contável de massa total um que atribui a cada evento sua probabilidade.

Scope

O tópico abrange o espaço amostral e a sigma-álgebra de eventos, os axiomas que uma medida de probabilidade deve satisfazer, a continuidade da probabilidade ao longo de sequências crescentes e decrescentes de eventos, a construção de medidas a partir de funções de conjunto via extensão de Caratheodory e construções padrão, como a medida de Lebesgue no intervalo unitário como um espaço de probabilidade canônico.

Core questions

• Qual é a diferença entre um resultado e um evento, e por que os eventos devem formar uma sigma-álgebra?
• Quais propriedades definem uma medida de probabilidade e como elas produzem continuidade por baixo e por cima?
• Como uma medida de probabilidade é construída a partir de uma descrição de probabilidades em conjuntos simples?
• Qual espaço de probabilidade canônico subjaz a modelos familiares, como um número aleatório uniforme no intervalo unitário?

Key concepts

• espaço amostral e resultados
• sigma-álgebra de eventos
• aditividade contável
• continuidade da probabilidade
• eventos nulos e propriedades quase-certas

Key theories

Axiomas de uma medida de probabilidade

Uma medida de probabilidade é não-negativa, atribui probabilidade um a todo o espaço amostral e é aditiva contável sobre eventos disjuntos; esses axiomas implicam monotonicidade, a fórmula de inclusão-exclusão e continuidade ao longo de sequências monótonas de eventos.

Teorema de extensão de Caratheodory

Uma função de conjunto aditiva contável definida em uma álgebra estende-se unicamente a uma medida na sigma-álgebra gerada, o que permite que uma medida de probabilidade seja especificada em eventos simples e depois estendida a todos os eventos mensuráveis.

Clinical relevance

O formalismo do espaço de probabilidade é o que torna as afirmações sobre fenômenos aleatórios inequívocas; todo modelo probabilístico aplicado, desde sistemas de filas até inferência estatística e modelagem de risco, é implicitamente uma afirmação sobre um espaço de probabilidade e os eventos nele definidos.

History

Embora probabilidades informais fossem calculadas por séculos, a noção precisa de um espaço de probabilidade data da axiomatização de Kolmogorov em 1933, que emprestou o mecanismo de extensão de Caratheodory da teoria da medida para dar aos eventos e suas probabilidades um lar rigoroso.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• Constantin Caratheodory
• Emile Borel

Seminal works

• kolmogorov1933

Frequently asked questions

Por que não atribuir probabilidades a cada subconjunto do espaço amostral?

Para espaços amostrais não contáveis, nenhuma probabilidade aditiva contável consistente pode ser definida em todos os subconjuntos, então as probabilidades são restritas a uma sigma-álgebra de eventos mensuráveis, que ainda contém todos os eventos de interesse prático.

O que significa "quase certamente"?

Um evento ocorre quase certamente se seu complemento tem probabilidade zero; tais eventos nulos podem ser ignorados para fins de cálculo de probabilidades e expectativas, mesmo que não sejam literalmente impossíveis.