Medidas de Radon-Nikodym e Produto

Estes resultados comparam e combinam medidas: o teorema de Radon-Nikodym representa uma medida como uma densidade multiplicada por outra, enquanto as medidas de produto e o teorema de Fubini tornam a integração sobre várias variáveis um processo iterado.

Definition

O teorema de Radon-Nikodym afirma que uma medida absolutamente contínua em relação a uma medida sigma-finita é igual à integral de uma densidade em relação a ela; uma medida de produto estende medidas em espaços fatoriais ao seu produto, de modo que a integração multivariável pode ser realizada uma variável de cada vez.

Scope

Este tópico abrange medidas com sinal e complexas com as decomposições de Hahn e Jordan, continuidade absoluta e singularidade mútua, a decomposição de Lebesgue, o teorema de Radon-Nikodym e sua derivada, a construção de medidas de produto, e os teoremas de Fubini e Tonelli para a troca da ordem de integrais iteradas.

Core questions

• Como uma medida é decomposta em relação a outra em partes absolutamente contínuas e singulares?
• Quando uma medida tem uma densidade em relação a outra, e qual é essa densidade?
• Como uma medida em um espaço produto é construída a partir de medidas nos fatores?
• Quando a ordem de uma integral iterada pode ser trocada?

Key theories

Teorema de Radon-Nikodym

Se uma medida é absolutamente contínua em relação a uma medida sigma-finita, ela é a integral de uma função de densidade única, a derivada de Radon-Nikodym, que é o fundamento rigoroso das densidades de probabilidade e da esperança condicional.

Teorema de Fubini-Tonelli

Sob sigma-finitude, uma integral sobre um espaço produto é igual a qualquer integral iterada, com a forma de Tonelli para funções não negativas e a forma de Fubini para funções integráveis, justificando a troca da ordem de integração.

Clinical relevance

A derivada de Radon-Nikodym é a função densidade de probabilidade e a razão de verossimilhança da estatística e a base rigorosa da esperança condicional em probabilidade, enquanto as medidas de produto e o teorema de Fubini sustentam o tratamento de distribuições conjuntas, independência e integrais multidimensionais em física e matemática aplicada.

History

Radon provou o teorema da densidade para o espaço euclidiano em 1913 e Nikodym o estendeu para medidas abstratas em 1930. O teorema de Fubini sobre integração iterada data de 1907 e foi complementado pela versão não negativa de Tonelli em 1909, completando a teoria da integração de produto.

Key figures

• Johann Radon
• Otton Nikodym
• Guido Fubini

Seminal works

• folland1999
• cohn2013

Frequently asked questions

O que é a derivada de Radon-Nikodym?

É a função densidade que expressa uma medida como uma integral em relação a outra quando a primeira é absolutamente contínua em relação à segunda; em probabilidade, é precisamente a função densidade de probabilidade.

Quando a ordem de uma integral dupla pode ser trocada?

O teorema de Tonelli permite isso para funções mensuráveis não negativas em espaços sigma-finitos, e o teorema de Fubini permite isso sempre que a função é integrável sobre o produto; juntos, eles cobrem os casos encontrados na prática.