Distribuições Binomial e de Poisson

As distribuições binomial e de Poisson são as duas distribuições discretas mais utilizadas na bioestatística. A binomial descreve o número de sucessos em um número fixo de ensaios independentes de sim/não, enquanto a de Poisson descreve o número de eventos ocorrendo em um intervalo fixo de tempo ou espaço quando os eventos acontecem a uma taxa média constante. Ambas modelam contagens, que são onipresentes nos dados de saúde.

Definition

A distribuição binomial fornece a probabilidade de obter um dado número de sucessos em um número fixo n de ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso p; a distribuição de Poisson fornece a probabilidade de um dado número de eventos em um intervalo fixo quando os eventos ocorrem independentemente a uma taxa média constante.

Scope

A entrada aborda as premissas, parâmetros, média e variância das distribuições binomial e de Poisson, os contextos que cada uma descreve, a relação entre elas e suas aproximações normais. Ilustra seu uso para proporções e taxas de eventos na pesquisa em saúde. É uma referência metodológica e não uma orientação clínica.

Core questions

• Que pressupostos definem uma situação binomial versus uma situação de Poisson?
• Como são determinadas a média e a variância de cada distribuição?
• Quando a distribuição de Poisson aproxima a binomial?
• Quando cada uma pode ser aproximada pela distribuição normal?

Key concepts

• Ensaio de Bernoulli
• Número de ensaios n e probabilidade de sucesso p
• Média e variância binomial
• Parâmetro de taxa de Poisson
• Igualdade da média e variância de Poisson
• Aproximação de Poisson à binomial
• Aproximação normal
• Contagens, proporções e taxas de eventos

Mechanisms

Uma distribuição binomial surge de um número fixo n de ensaios independentes, cada um sendo um ensaio de Bernoulli com a mesma probabilidade p de sucesso; a contagem de sucessos tem média np e variância np(1-p). A distribuição de Poisson surge como o limite da binomial quando n é grande e p é pequeno, enquanto seu produto (a contagem esperada) permanece moderado, modelando assim eventos raros ao longo de muitas oportunidades; ela tem um único parâmetro igual à sua média e à sua variância, refletindo eventos que ocorrem a uma taxa constante. Quando n é grande, ou quando a média de Poisson é grande, ambas as distribuições podem ser aproximadas por uma distribuição normal, razão pela qual os métodos para proporções e taxas frequentemente emprestam intervalos de confiança e testes baseados na normal. Na pesquisa em saúde, a binomial fundamenta a análise de proporções, como o número de pacientes que respondem a um tratamento, enquanto a de Poisson fundamenta contagens e taxas de incidência, como o número de novos casos em uma população ao longo de um período.

Clinical relevance

Os modelos binomial e de Poisson sustentam a análise de proporções e taxas de eventos relatadas em toda a literatura de saúde, portanto, reconhecer qual se aplica auxilia na leitura crítica dos resultados sobre taxas de resposta e incidência de doenças. Esta entrada é metodológica e não direciona o cuidado individual.

Epidemiology

A distribuição de Poisson é o modelo natural para contagens de eventos relativamente raros que se acumulam ao longo do tempo-pessoa, sendo, portanto, fundamental para a análise de taxas de incidência em epidemiologia; a binomial fundamenta a análise de riscos e proporções, como a incidência cumulativa em um grupo fechado.

History

A distribuição binomial foi estudada por Jacob Bernoulli em sua análise de ensaios repetidos publicada em 1713, e de Moivre posteriormente derivou sua aproximação normal. Siméon Denis Poisson introduziu a distribuição que leva seu nome em 1837 como um limite da binomial para eventos raros. Ambas se tornaram ferramentas padrão para modelar contagens quando a estatística foi aplicada à medicina e à saúde pública.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

Como sei se devo usar um modelo binomial ou de Poisson?

Use a binomial quando houver um número fixo de ensaios independentes de sim/não e você contar os sucessos; use a de Poisson quando você contar eventos ocorrendo em um intervalo contínuo de tempo ou espaço a uma taxa aproximadamente constante, sem um número fixo de ensaios.

Por que a média da distribuição de Poisson é igual à sua variância?

Isso decorre da estrutura da distribuição como um limite da binomial para eventos raros; essa igualdade também é uma verificação prática, pois dados de contagem cuja variância excede muito sua média (superdispersão) podem não se ajustar a um modelo de Poisson simples.