リーマン計量と測地線

リーマン計量とは、多様体上の長さと角度を測定するものであり、測地線とは、局所的に長さを最小化する曲線、すなわち湾曲した空間における直線に相当するものである。

Definition

リーマン計量とは、各接空間に、点に滑らかに依存する正定値内積を割り当てるものであり、測地線とは、局所的に長さを最小化する曲線、あるいはそれ自身の速度がそれ自身に沿って平行である曲線である。

Scope

このトピックでは、リーマン計量を、接空間上の滑らかに変化する正定値内積として定義し、その結果として生じる弧長、角度、リーマン体積の概念、および連結リーマン多様体を距離空間にする距離関数について述べる。また、測地線を、長さを最小化する曲線として、また測地線方程式の解として展開し、指数写像と正規座標、測地線の完備性、および完備性と最小測地線の存在を関連付けるホップ・リノウの定理についても論じる。等長写像と測地線の変分特性も含まれる。

Core questions

• 計量は、滑らかな多様体をどのようにして明確な距離を持つ距離空間に変えるのか？
• 測地線は、どのような意味で最も直線的で局所的に最短の曲線なのか？
• 指数写像は、どのようにして点の周りの標準座標を提供するのか？
• 測地線の完備性は、任意の2点間の最小測地線をいつ保証するのか（ホップ・リノウの定理）？

Key concepts

• リーマン計量、弧長、体積
• リーマン距離関数と等長写像
• 測地線方程式と長さの最小化
• 指数写像と正規座標
• 測地線の完備性とホップ・リノウの定理

Clinical relevance

測地線は、相対性理論における自由粒子の運動や光の経路、形状空間やロボット工学における最適経路、湾曲した表面上の最短経路をモデル化する。計量構造は、多様体を真の幾何学的かつ距離空間の対象とする。

History

リーマンは1854年に計量を導入し、測地線の変分研究は19世紀後半から20世紀初頭にかけて成熟した。ホップ・リノウの定理（1931年）は、計量完備性と測地線完備性の等価性を明確にし、今日教えられている基礎的な全体像を完成させた。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Heinz Hopf
• Willi Rinow

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

測地線は常に最短経路ですか？

局所的にのみです。測地線は十分に近接した点間の長さを最小化しますが、大域的には、遠く離れた2点間の測地線が最短であるとは限りません。例えば、球体を大きく迂回する大円弧などが挙げられます。

ホップ・リノウの定理は何を保証しますか？

連結リーマン多様体においては、測地線完備性、計量完備性、および閉有界集合がコンパクトであるという性質はすべて同値であり、これらのいずれかが、任意の2点間が最小測地線によって結ばれることを保証します。