接続と平行移動

接続は、曲線に沿ったベクトル場の微分方法を規定し、平行移動はそれを用いて、幾何学が許す限り一定に保ちながら、多様体全体にわたってベクトルを移動させる。

Definition

多様体上の接続とは、線形でありライプニッツ則を満たすベクトル場の共変微分を行うための規則であり、平行移動とは、曲線に沿った接ベクトルを、その曲線に沿った共変微分がゼロになるように移動させるための結果として得られる処方である。

Scope

このトピックでは、アフィン接続と線形接続、共変微分、および曲線に沿った平行移動について紹介する。リーマン幾何学の基本定理、すなわち、一意のねじれのない計量適合接続（レヴィ・チヴィタ接続）の存在を確立し、これは座標系ではクリストッフェル記号によって表現される。測地線を自己平行曲線として扱い、ループ周りの平行移動のホロノミーを曲率の現れとして、そして一般的なベクトル束上の接続をゲージ理論への架け橋として扱う。

Core questions

• 曲がった多様体上でベクトル場を微分するために、計量以外の追加構造が必要なのはなぜか？
• どのような条件が、計量からレヴィ・チヴィタ接続を一意に特定するのか？
• 平行移動は経路にどのように依存し、その経路依存性は何を明らかにするのか？
• クリストッフェル記号は局所座標系で接続をどのように表現するのか？

Key concepts

• アフィン接続と線形接続；共変微分
• 曲線に沿った平行移動
• レヴィ・チヴィタ接続とリーマン幾何学の基本定理
• クリストッフェル記号
• ホロノミーとベクトル束上の接続

Clinical relevance

接続は物理学におけるゲージ理論の数学的核であり、接続はゲージ場である。幾何学においては測地線と曲率を定義し、平行移動はフーコーの振り子から幾何学的（ベリー）位相に至る現象を説明する。

History

レヴィ・チヴィタは1917年に平行移動を導入し、リーマンの曲率に直感的な意味を与えた。ワイルとカルタンは1920年代にこの概念をアフィン接続と一般接続に抽象化し、後に束の定式化によって物理学のゲージ場と統一された。

Key figures

• Tullio Levi-Civita
• Élie Cartan
• Hermann Weyl

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

多様体上でベクトル場を直接微分できないのはなぜか？

異なる点における接ベクトルは異なるベクトル空間に属するため、それらを減算して微分を形成することは定義されていない。接続は、近くの接空間を比較するための欠けている規則を提供する。

レヴィ・チヴィタ接続が特別なのはなぜか？

それは、計量と両立し（平行移動が長さと角度を保存する）、かつねじれのない唯一の接続である。これら二つの条件が、計量からそれを完全に決定する。