接空間とベクトル場

接空間は、多様体の各点に速度のベクトル空間を付随させ、ベクトル場は、多様体全体にわたってそのような速度を滑らかに割り当て、流れと無限小対称性を符号化します。

Definition

滑らかな多様体の点における接空間は、その点を通る曲線の速度ベクトルのベクトル空間であり（同等に、その点における滑らかな関数の導分）、ベクトル場は、各点に接ベクトルを滑らかに割り当てるもの、すなわち接バンドルのセクションです。

Scope

このトピックでは、接空間を—曲線、導分、または遷移互換なタプルの速度ベクトルを介して同等に—定義し、接空間を接バンドルにまとめます。また、滑らかな写像の微分、接バンドルのセクションとしてのベクトル場、それらの積分曲線と流れ、リー括弧とリー微分、および分布の可積分性に関するフロベニウスの定理を展開します。余接空間と1形式は、微分形式につながる双対構造として現れます。

Core questions

• 接ベクトルの同等な定義は何であり、なぜそれらは一致するのでしょうか？
• 滑らかな写像の微分は接空間にどのように作用しますか？
• ベクトル場はどのように流れを生成し、リー括弧は2つの流れについて何を測定しますか？
• 接分布の族はいつ部分多様体に統合できますか（フロベニウスの定理）？

Key concepts

• 導分としての接空間と接ベクトル
• 接バンドルと滑らかな写像の微分
• ベクトル場、積分曲線、および流れ
• リー括弧とリー微分
• 分布とフロベニウスの可積分性定理

Clinical relevance

接ベクトルとベクトル場は、速度、力、および無限小対称性を形式化します。これらは、多様体上の力学系、リー群のリー代数、およびリーマン幾何学の測地線と曲率の構成の基盤となります。

History

接空間の導分としての内在的で座標に依存しない定義は、リーの連続変換群の理論とカルタンの微分形式の計算に基づいて、20世紀半ばに登場し、微分幾何学に現代的な関手的定式化を与えました。

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

なぜ接ベクトルを導分として定義するのですか？

導分による定義は内在的で座標に依存しません。接ベクトルはライプニッツの法則を満たす滑らかな関数上の線形演算子であり、埋め込みへの参照を避け、抽象的な多様体で機能します。

2つのベクトル場のリー括弧は何を測定しますか？

それは、2つのベクトル場の流れが可換であることの失敗を測定します。括弧が消滅するということは、同じ点に到達するために流れをどちらの順序で追ってもよいことを意味します。