時空の曲率と測地線

一般相対性理論では、物質が時空を湾曲させ、自由粒子や光線は、その湾曲した幾何学における可能な限り最もまっすぐな経路である測地線に沿って進みます。近くの測地線の相対的な湾曲は、私たちが重力潮汐力として認識するものです。

Definition

時空の曲率は、時空幾何学が平坦性から逸脱していることであり、リーマン曲率テンソルによって定量化されます。測地線は、自由落下する粒子のワールドラインであり、自身の接ベクトルを平行移動させ、固有時間を極大化することによって得られます。

Scope

このトピックでは、極値的な長さのワールドラインとしての測地線と測地線方程式、平行移動と接続、リーマン曲率テンソルとその縮約、潮汐効果の尺度としての測地線偏差、および弱場近似における曲率がニュートン重力引力を再現し修正する方法について扱います。

Core questions

• 時空が平坦ではなく湾曲しているとはどういう意味ですか？
• 自由落下する物体はなぜ測地線に沿って動くのですか？
• 測地線偏差はどのように潮汐重力力を説明するのですか？

Key concepts

• 測地線
• アフィン接続とクリストッフェル記号
• 平行移動
• リーマン曲率テンソル
• 測地線偏差
• 潮汐力

Key theories

測地線方程式

自由落下する粒子は、固有時間を極大化する測地線に沿って進み、接続係数が重力場を符号化する方程式を満たします。これにより、重力は湾曲した時空における慣性運動となります。

リーマン曲率と測地線偏差

リーマンテンソルは、ループに沿った平行移動の失敗を測定し、隣接する測地線が互いに近づいたり遠ざかったりする加速の仕方を支配し、曲率を重力の観測可能な潮汐力と同一視します。

Clinical relevance

測地線は、相対論的重力場における惑星や宇宙船の軌道、重力レンズを引き起こす光の経路、水星の近日点などの軌道の歳差運動を決定します。曲率はまた、コンパクトな天体の近くで経験される潮汐伸張も記述します。

History

湾曲した空間の幾何学は、19世紀にガウスとリーマンによって創始されました。レヴィ＝チヴィタとリッチは1900年代にテンソル解析と平行移動を発展させ、アインシュタインはこれらのツールを採用して重力を曲率として表現し、ニュートンの力による軌道は測地線に置き換えられました。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Albert Einstein
• Tullio Levi-Civita

Seminal works

• wald1984
• mtw1973

Frequently asked questions

測地線が最もまっすぐな経路であるならば、なぜ軌道は湾曲して見えるのですか？

軌道は、湾曲した4次元時空の測地線であるという意味でまっすぐです。空間における見かけの湾曲は、時空自体が質量によって湾曲しているために生じ、局所的に最もまっすぐなワールドラインが湾曲した空間経路に投影されるためです。

曲率は単なる座標の選択とどのように区別されますか？

座標効果は座標変換によって除去できますが、真の曲率はリーマンテンソルや潮汐測地線偏差に現れ、これらは変換によって消去することはできず、実際の重力が作用する場所には常に存在します。