リーマン幾何学

リーマン幾何学は、滑らかな多様体に長さと角度を測定する計量を与え、多様体の微積分を距離、測地線、曲率の真の幾何学へと変貌させます。

Definition

リーマン幾何学は、リーマン計量（接空間上の滑らかに変化する内積）を備えた滑らかな多様体と、その計量によって決定される長さ、角度、測地線、曲率といった幾何学的概念を研究する学問分野です。

Scope

この分野は、リーマン計量を持つ多様体を扱います。具体的には、レヴィ・チヴィタ接続と平行移動、局所的に最短経路としての測地線、曲率テンソルとその縮約（断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率）、および曲率の境界と位相および距離を関連付ける大域的比較定理が含まれます。局所的な曲率と大域的な形状の相互作用は、現代幾何学の多くの動機付けとなっていますが、微分位相幾何学の計量を持たない滑らかな構造や、ローレンツ幾何学で研究される不定計量は除外されます。

Sub-topics

• Connections and Parallel Transport
• Curvature and Comparison Geometry
• Riemannian Metrics and Geodesics

Core questions

• 計量はいかにして、一意の適合するねじれのない接続（レヴィ・チヴィタ接続）を決定し、それによって測地線を導き出すのでしょうか？
• 異なる曲率とは何であり、それらはいかにして平坦性からの局所的なずれを符号化しているのでしょうか？
• 曲率の境界は、多様体の大域的な位相と直径をどのように制約するのでしょうか？
• 2つのリーマン多様体が等長であるのはどのような場合で、どのような量が等長不変量となるのでしょうか？

Key concepts

• リーマン計量と等長写像
• レヴィ・チヴィタ接続と平行移動
• 測地線と指数写像
• リーマン曲率テンソル、断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率
• 曲率と位相を関連付ける比較定理

Clinical relevance

リーマン幾何学は、一般相対性理論（そのローレンツ的な一般化を含む）の数学的枠組みであり、ポアンカレ予想の解決に用いられた幾何学的解析やリッチフロー技術の基礎をなし、多様体上の最適化、形状解析、機械学習の中心となる曲がった計量を提供します。

History

リーマンの1854年の教授資格取得講演は、任意の次元における曲率の計量的な概念を導入しました。レヴィ・チヴィタの平行移動（1917年）は、接続に幾何学的な意味を与え、カルタン、ラウフ、そして後にグロモフによって発展した大域的比較幾何学は、この主題を曲率と位相の関係の研究へと変えました。

Key figures

• Bernhard Riemann
• Tullio Levi-Civita
• Mikhail Gromov

Seminal works

• lee1997
• docarmo1992

Frequently asked questions

リーマン計量は滑らかな多様体に何を追加するのでしょうか？

リーマン計量は、各接空間に滑らかに変化する内積を提供します。これにより、曲線の長さ、ベクトル間の角度、体積、そして最終的には曲率を測定できるようになります。これらは、計量を持たない単なる滑らかな多様体には存在しない概念です。

リーマン幾何学は一般相対性理論とどのように関連していますか？

一般相対性理論は、時空上で不定符号の擬リーマン（ローレンツ）計量を使用します。リーマン幾何学のレヴィ・チヴィタ接続、測地線、および曲率テンソルは、一般相対性理論にも引き継がれ、自由落下と重力を曲率として記述します。